Exponentials, logarithms and modelling
Введено| English | Значение |
|---|---|
| half-life/hɑːf laɪf/ | Период полураспада |
Почему модель убывания остается положительной?
- Концентрация лекарства уменьшается на одинаковый процент каждый час. Постоянное вычитание со временем привело бы к отрицательному значению.
- В этом уроке изучается период полураспада: время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения.
Выберите математическую структуру
- Для y=Ae^(kt), k — пропорциональная скорость. Логарифмирование дает ln y=ln A+kt. Логарифмы требуют положительных аргументов, и log(x+y) не равно log x+log y.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Why is ln(x+y)=ln x+ln y wrong?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Logarithms convert multiplication into addition: ln(xy)=ln x+ln y. Try x=y=1: ln 2≈0.69 but ln 1+ln 1=0, so the claimed law fails.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Если y=80e^(-0.2t), то при y=40 получаем e^(-0.2t)=1/2. Отсюда t=ln2/0.2≈3.466. Для 3^x=20, x=ln20/ln3. Построение графика зависимости ln y от t линеаризует эту экспоненциальную модель.
Exponentials, logarithms and modelling
For y=Ae^(kt), k is a proportional rate
Explain why the half-life depends on 0.2 and not on the initial amount 80.
Solve 2^x=32.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
32=2⁵, so x=5.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия. Укажите единицы времени и диапазон применения. Отрицательное k описывает убывание; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Для положительных x и y: ln(x+y)=ln x+ln y. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Find ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The natural logarithm undoes exponentiation: ln(e³)=3.
For positive x and y, ln(x+y)=ln x+ln y.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A fitted exponential is a model, not a guarantee. Specify the time units and range of use. A negative k describes decay; a negative starting amount usually contradicts the context.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Сравните фактические наблюдения с моделью. Систематические отклонения могут указывать на изменяющиеся условия. В отчете объясните физический смысл скорости и начального значения, а не просто приводите уравнение.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Find the half-life of 80e^(-0.2t), to three decimal places.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Set e^(-0.2t)=1/2. Then t=ln(2)/0.2≈3.466 to three decimal places.
Match each exponential-model quantity to its meaning.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Taking logs turns y=Ae^(kt) into ln y=ln A+kt, a straight line whose gradient is the rate k.
Примените это в своем курсе
- Текущая первая оценка - 2021 Анализ и подходы HL. Это концептуальная поддержка; для сертификации каждой цели необходим полный гайдлайнд.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.