Теоремы о окружности и обоснованные доказательства · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | вписанный четырехугольник |
Какие углы опираются на одну и ту же хорду?
- Два наблюдателя видят одну и ту же хорду из окружности. Их углы связаны теоремой, а не кажущимся размером рисунка.
- На этом уроке изучается вписанный четырёхугольник: четырёхугольник, все четыре вершины которого лежат на одной окружности.
Выберите математическую структуру
- Угол при центре вдвое больше угла при окружности, опирающихся на одну дугу. Углы в одном сегменте равны. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника составляет 180°. Радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Вписанный четырёхугольник имеет один угол 112°. Почему противоположный угол равен 68°?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Свойство 180° относится к ВПИСАННЫМ четырёхугольникам (вершины лежат на одной окружности) и не выполняется для произвольного четырёхугольника. Здесь 180 − 112 = 68°.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Если центральный угол равен 100°, то соответствующий угол при окружности равен 50°. В вписанном четырёхугольнике, если один угол равен 112°, то противоположный ему угол равен 180-112=68°. Радиус, пересекающий касательную, образует 90°, даже если на рисунке это выглядит как косой угол.
Теоремы о окружности и обоснованные доказательства
Угол при центре вдвое больше угла при окружности на одной и той же дуге
Выберите теорему из геометрической конфигурации перед вычислением угла.
Найдите вписанный угол, соответствующий центральному углу 100°.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Для одной и той же хорды и дуги центральный угол равен удвоенному вписанному: 100/2=50°.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Определите общую хорду и нужную дугу перед применением теоремы. Наличие двух видимых прямых углов не доказывает, что четырёхугольник вписанный, без корректного обратного рассуждения. Рисунок может быть не в масштабе.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Сумма противоположных углов любого четырёхугольника равна 180°. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Найдите угол, противолежащий углу 112° в вписанном четырехугольнике.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°, следовательно, 180-112=68°.
В любом четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Определите одну и ту же хорду и правильную дугу перед применением теоремы. Два видимых прямых угла не доказывают вписанность четырехугольника без корректного обратного утверждения. Рисунок может быть не в масштабе.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Запишите причину рядом с каждым вычислением угла. Для теоремы о касательной и хорде укажите касательную и хорду, затем найдите угол в противоположном сегменте. Дополнительные радиусы используйте только тогда, когда они помогают доказательству.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите угол между радиусом и касательной в градусах.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Радиус и касательная перпендикулярны в точке касания: 90°.
Соотнесите каждую теорему об окружности с её утверждением.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Для каждой теоремы необходима правильная конфигурация: та же самая дуга, четыре коаксиальные вершины или точка касания.
Примените это в своем курсе
- 4MA1 · Higher · 4. Соотнесите целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Четырёхугольник, все четыре вершины которого лежат на одной окружности. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.