Нахождение корней и численное интегрирование
Введено| English | Значение |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | итерация |
Насколько надёжна аппроксимация?
- Нелинейное уравнение не имеет удобного точного решения. Аппроксимация всё же требует доказательств своей надёжности.
- Этот урок изучает итерацию: повторяющееся обновление, при котором каждое новое приближение вычисляется на основе предыдущего.
Выберите математическую структуру
- Для равной ширины полосы h оценка методом трапеции равна h/2, умноженному на сумму высот двух крайних точек плюс удвоенная сумма внутренних высот.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
f(x)=1/x меняет знак между -1 и 1. Почему это НЕ доказывает наличие корня на [-1,1]?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Для применения теоремы о промежуточных значениях требуется непрерывность функции на всём отрезке. В точке разрыва x=0 функция скачком переходит из отрицательных значений в положительные, не пересекая ноль.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Для y=x² на [0,2] с двумя равными полосами, h=1, а высоты равны 0,1,4. Оценка составляет (1/2)(0+2×1+4)=3. Точная площадь равна 8/3, поэтому эта выпуклая кривая дает завышенную оценку.
Нахождение корней и численное интегрирование
Для равной ширины полосы h оценка по трапеции равна h/2, умноженному на сумму двух высот на концах плюс удвоенная сумма внутренних высот.
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Найдите ширину полос для двух равных полос от 0 до 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ширина полосы = (2 - 0) / 2 = 1.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Используйте полосы одинаковой ширины и учитывайте внутренние высоты дважды. Кривизна определяет, будет ли оценка выше или ниже точной площади; одного лишь возрастания функции недостаточно.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Возрастающая функция всегда дает оценку трапеции с избытком. Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Используйте две полосы для трапециевидной оценки интеграла x² от 0 до 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
h=1 с высотами 0,1,4 дает (1/2)(0+2×1+4)=3.
Возрастающая функция всегда дает оценку трапеции в виде завышенного значения.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Используйте равные ширины полос и включайте внутренние высоты дважды. Кривизна определяет, будет ли оценка выше или ниже точной площади; одного лишь возрастания недостаточно.
Интерпретируйте новую ситуацию
- P2 вводит правило трапеции. Метод Ньютона–Рэпсона и другие методы поиска корней относятся к другим разделам программы; они не входят в урок P2.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите точный интеграл x² от 0 до 2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Точный интеграл равен [x³/3] от 0 до 2=8/3.
Соотнесите каждый численный метод с его формулой обновления или правилом.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
У каждого метода свои условия: метод половинного деления требует непрерывности и смены знака, метод Ньютона — ненулевого значения производной, а метод трапеций — равной ширины полос.
Примените это в своем курсе
- edexcel IAL mathematics; официальный модуль P2. Обогащение из других модулей определяется в обзоре содержания; это не является дополнительным требованием для увеличения баллов.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Повторяющееся обновление, при котором каждое новое приближение вычисляется на основе предыдущего. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.