Прямолинейное движение: связь положения, скорости и ускорения
Введено| English | Значение |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | положение |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | скорость |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | ускорение |
| speed/spiːd/ | скорость |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | перемещение |
Положение, скорость, ускорение — цепочка производных
- Движение по прямой — классическая область применения производной.
- Положение $s(t)$ говорит, где находится объект во время $t$.
- Его производная — это скорость $v(t)=s'(t)$ — насколько быстро и в каком направлении.
- Производная от скорости — это ускорение $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Кривая зависимости положения от времени
y = ax³ + bx² + cx
Наклон этой кривой положения — это скорость; там, где она выравнивается (при $v=0$), объект временно неподвижен.
Скорость является производной от...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$v=s'$: скорость является производной от положения.
Скорость несёт знак
- Скорость знаковая: $v>0$ означает движение в положительном направлении, $v<0$ — в отрицательном.
- Скорость (speed) — это только размер, $|v|$ — всегда неотрицательна.
- Объект покоится, когда $v(t)=0$ (временно остановлен).
- Изменение знака в $v$ означает, что объект развернулся.
Для $v(t)=3t^2-12t+9$ объект находится в покое, когда $v=0$. Одно такое время — $t=1$; найдите другое время.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ или $t=3$.
Скорость — это модуль скорости движения, поэтому скорость никогда не бывает отрицательной.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Скорость $=|v|\ge0$; скорость движения имеет знак.
Ускоряется или замедляется?
- Сравните знаки скорости и ускорения:
- Одинаковые знаки ($v$ и $a$ оба $+$, или оба $-$) → объект ускоряется.
- Разные знаки → объект замедляется.
- (Интуиция: ускорение, направленное в ту же сторону, что и движение, добавляет скорость; направленное навстречу — убавляет скорость.)
Объект ускоряется, когда скорость и ускорение имеют...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Одинаковый знак → ускорение; противоположный → замедление.
При $t=1$, $v=-2$ и $a=-6$. Выберите все верные утверждения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v<0$ (отрицательное направление), $v,a$ одинаковый знак (ускорение), $|v|=2$. Оно не в покое ($v\neq0$).
Прочитайте всю историю
- Перемещение за промежуток времени $[t_1,t_2]$ равно $s(t_2)-s(t_1)$ — это чистое изменение положения (может быть равно нулю даже после движения).
- Направление движения = знак $v$; точки поворота находятся там, где $v=0$ меняет знак.
- Из $s(t)$ можно получить всё, дифференцируя: $v=s'$, затем $a=v'$.
- Эта цепочка — положение → скорость → ускорение — одна из самых проверяемых идей в курсе.
Чистое изменение положения за интервал, $s(t_2)-s(t_1)$, называется ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Перемещение — это чистое изменение положения.
"Увеличение скорости" не то же самое, что «положительное ускорение». Объект с $v<0$ и $a<0$ ускоряется (движется быстрее в отрицательном направлении). Всегда сравнивайте знаки $v$ и $a$: одинаковые знаки → ускорение, разные знаки → замедление. И скорость (со знаком) не равна модулю скорости ($|v|$).
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (метры, секунды). Проанализируйте движение в момент $t=1$.
- В момент $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; в момент $\;v(1)=3-12+9=0$ объект на мгновение покоится.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Сразу после момента $t=1$ скорость $v$ становится отрицательной, тогда как ускорение $a<0$ сохраняет тот же знак → тело разгоняется, двигаясь в отрицательном направлении.
Для прямолинейного движения: скорость $v=s'$ и ускорение $a=v'=s''$. Скорость имеет знак (направление); модуль скорости — это $|v|$; объект покоится, когда $v=0$. Сравниваем знаки: если $v$ и $a$ одинаковые → ускорение, разные → замедление. Перемещение за интервал — это суммарная изменённая величина $s(t_2)-s(t_1)$.