Дифференцирование обратных тригонометрических функций
Введено| English | Значение |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | обратные тригонометрические функции |
Derivatives that hide a square root
- The inverse trig functions — $\arcsin$, $\arctan$, and friends — undo sine, tangent, etc.
- Their derivatives are surprisingly algebraic: no trig at all, just powers and roots.
- Two are worth memorizing outright; the rest follow the same pattern.
- These inverse trigonometric functions 反三角函数 show up in integrals later, so knowing their derivatives pays off twice.
The two you must know
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Notice: $\arcsin$ has a root in the denominator; $\arctan$ has a clean $1+x^2$.
- Both are always positive on their domains — these inverses are increasing.
Плавный наклон арктангенса
y = a·tanh(bx) (форма, похожая на арктангенс)
$\arctan x$ растет быстрее всего при $0$ (наклон $1$) и выполаживается — ее производная $\tfrac{1}{1+x^2}$ стремится к $0$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\arcsin$ имеет вид корня $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\arctan$ имеет чистый вид $\tfrac{1}{1+x^2}$ (без корня).
The rest of the family
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — same as $\arcsin$ but negative.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — the negative of $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- The "co-" inverses carry a minus, echoing the ordinary trig pattern.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ является ____ от $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (такой же модуль, противоположный знак).
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\arccos$ содержит знак минус.
Выберите все производные обратных тригонометрических функций, содержащие квадратный корень.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\arcsin$, $\arccos$ и арксеканс содержат корни; $\arctan$ равен $\tfrac{1}{1+x^2}$ без корня.
Chain them up
- With the chain rule, replace $x$ by an inner function $u$ and multiply by $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Same routine as any chain-rule problem: outer formula, then $\times\,u'$.
Для $y=\arctan(3x)$, дано $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Найдите $y'$ при $x=0$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
При $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (без внутреннего множителя).
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Правило сложной функции добавляет внутреннюю производную $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
Don't confuse the two shapes: $\arcsin$ gives $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (a root), while $\arctan$ gives $\frac{1}{1+x^2}$ (no root). And with the chain rule, never drop the inner derivative: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, not $\frac{1}{1+9x^2}$.
Differentiate $y=\arctan(x^2)$.
- Outer: $\arctan(u)$ with $u=x^2$, giving $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Inner derivative: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Memorize $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ and $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. The "co-" inverses ($\arccos$, arccot) carry a minus. For composite inverse trigonometric functions, apply the chain rule — the standard formula times the inner derivative $u'$.