Связь дифференцируемости и непрерывности: когда производные существуют и когда нет
Введено| English | Значение |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | дифференцируемость |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | непрерывность |
| corner/ˈkɔːnə/ | угол |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | вертикальная касательная |
| cusp/kʌsp/ | острие |
Smooth implies connected — but not the reverse
- If a function has a derivative at a point, its graph is not just unbroken there — it is smooth.
- Differentiability 可微性 at a point is a stronger condition than continuity.
- Key fact: differentiable $\Rightarrow$ continuous. A tangent line can't exist at a break.
- But the reverse fails: a continuous graph can still have a sharp spot with no derivative.
Гладкая, дифференцируемая кривая
y = ax² + bx
Эта парабола гладка везде — касательная существует в каждой точке, в отличие от угла, где наклон скачком меняется.
Why differentiable forces continuous
- A derivative is the limit of secant slopes; for that limit to be finite, the function can't jump.
- If $f$ jumped at $c$, the secant slopes near $c$ would blow up — no finite tangent slope.
- So having $f'(c)$ guarantees $f$ is continuous 连续 at $c$.
- Contrapositive (handy on exams): if $f$ is not continuous at $c$, it is not differentiable there.
Continuous but not differentiable: a corner 尖角 and a vertical tangent 竖直切线
Какое следование верно?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Дифференцируемость влечет непрерывность; обратное неверно.
Если $f$ не непрерывна в $c$, то $f$ в $c$ является...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Контрапозиция утверждения «дифференцируема $\Rightarrow$ ⟹ непрерывна»: не непрерывна $\Rightarrow$ ⟹ не дифференцируема.
Where the derivative fails to exist
- Continuity is not enough — three shapes break differentiability even with no gap:
- A corner: the left and right slopes differ (like $|x|$ at $0$).
- A cusp 尖点: the slopes shoot to $+\infty$ and $-\infty$ (like $x^{2/3}$ at $0$).
- A vertical tangent: the tangent is vertical, so its slope is undefined (like $\sqrt[3]{x}$ at $0$).
На каких элементах производная не существует, даже если функция непрерывна?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Углы, выпуклости и вертикальные касательные устраняют производную; гладкая точка поворота все еще имеет $f'=0$.
В ____ касательной линия касательной вертикальна, поэтому её наклон (производная) не определен.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Вертикальная линия имеет неопределенный наклон; например, $\sqrt[3]{x}$ при $0$.
It all comes back to the tangent
- A derivative exists only when there is one well-defined tangent line with a finite slope.
- A corner has two different tangents; a cusp/vertical tangent has an infinite slope — neither gives a single finite value.
- $|x|$ is continuous everywhere but has no derivative at $0$ — the classic counterexample.
- So: check continuity first (necessary), then check for a single finite tangent slope (the rest).
$f(x)=|x|$ непрерывна в $0$, но не дифференцируема там.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Угол дает левый наклон $-1$, правый наклон $+1$ — нет единого наклона касательной.
Для $f(x)=|x|$ каков наклон справа (для $x>0$) в точке $0$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Для $x>0$, $f(x)=x$, поэтому наклон равен $+1$ (левый наклон составляет $-1$, отсюда угол).
Do not flip the implication. Differentiable $\Rightarrow$ continuous is true, but continuous $\Rightarrow$ differentiable is false. $f(x)=|x|$ proves it: perfectly continuous at $0$, yet the corner means $f'(0)$ does not exist (left slope $-1$, right slope $+1$).
Is $f(x)=|x|$ differentiable at $x=0$?
- Continuous at $0$? Yes — no gap. ✓
- Left slope: for $x<0$, $f(x)=-x$, slope $-1$. Right slope: for $x>0$, $f(x)=x$, slope $+1$.
- The one-sided slopes disagree ($-1\neq1$) — a corner.
- So $f'(0)$ does not exist, even though $f$ is continuous there.
Differentiability $\Rightarrow$ continuity (a tangent needs an unbroken graph), but continuity does not imply differentiability. A derivative fails to exist at a corner (slopes disagree), a cusp, or a vertical tangent (infinite slope) — anywhere there is no single, finite tangent line.