Поддерживаемый фокус HL. Первая оценка 2021; актуально до 2028. Курс с первой оценкой 2029 является отдельным. Оставшиеся требования к руководству, оценке и практической деятельности сохраняют свои зарегистрированные значения.
Предварительные требования: прочитайте указанные количества и единицы измерения, используйте арифметику и нижеприведённые условия модели. Каждый урок осваивает собственный метод перед независимым переносом.
Это оригинальные или явно вымышленные учебные примеры, а не фактические измерения или завершённые оценочные исследования учащихся.
Область определения, обратные функции и композиция
Какие значения допустимы?
Модель квадратного корня возвращает действительный результат только для некоторых входных значений. Сама формула не определяет полную функцию.
В этом уроке изучается область определения: множество допустимых входных значений функции.
Выберите математическую структуру
Укажите область определения и область значений. Для обратной функции сначала убедитесь, что функция является взаимно однозначной на своей области определения. Композиция fg означает применение g первым, затем f; промежуточный выход должен быть допустимым входом для f.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$f(g(x))=(f\circ g)(x),\qquad f^{-1}(f(x))=x$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Для f(x)=√(x-2), x≥2 и область значений y≥0. Из y=√(x-2) следует x=y²+2. Таким образом, обратная функция f(x)=x²+2 при x≥0. Для g(x)=x+3, fg(1)=f(4)=√2.
Проверьте соблазнительное упрощение
Возведение в квадрат может порождать посторонние решения. Ограничение области определения параболы необходимо перед утверждением существования обратной функции. Горизонтальный сдвиг внутри f имеет противоположный знак движению графика.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Каждая квадратичная функция на множестве всех действительных чисел имеет обратную функцию. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Проверьте f(f inverse(x))=x на области определения обратной функции. Используйте эскиз, чтобы проверить, пересекает ли горизонтальная линия исходный график более одного раза.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка-2021 Применение и интерпретация HL. Это концептуальная поддержка от автора; для подтверждения каждой цели необходим полный курс.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Множество допустимых входных значений функции. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.
2.3
Экспоненциальные функции, логарифмы и моделирование
Почему модель убывания остаётся положительной?
Концентрация лекарства уменьшается на одинаковый процент каждый час. Постоянное вычитание со временем привело бы к отрицательному значению.
В этом уроке изучается период полураспада: время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения.
Выберите математическую структуру
Для y=Ae^(kt), k — пропорциональная скорость. Логарифмирование дает ln y=ln A+kt. Логарифмы требуют положительных аргументов, и log(x+y) не равно log x+log y.
Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Пройдите через проверенный случай
$$y=Ae^{kt},\qquad \ln y=\ln A+kt$$
Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пример:
Если y=80e^(-0.2t), то при y=40 получаем e^(-0.2t)=1/2. Отсюда t=ln2/0.2≈3.466. Для 3^x=20, x=ln20/ln3. Построение графика зависимости ln y от t линеаризует эту экспоненциальную модель.
Проверьте соблазнительное упрощение
Подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия. Укажите единицы времени и диапазон применения. Отрицательное k описывает убывание; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.
Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Предупреждение:
Для положительных x и y: ln(x+y)=ln x+ln y. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Интерпретируйте новую ситуацию
Сравните фактические наблюдения с моделью. Систематические отклонения могут указывать на изменяющиеся условия. В отчете объясните физический смысл скорости и начального значения, а не просто приводите уравнение.
Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Используйте это в своем курсе
Текущая первая оценка-2021 Применение и интерпретация HL. Это концептуальная поддержка от автора; для подтверждения каждой цели необходим полный курс.
Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Ключевые моменты:
Время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и проинтерпретируйте результат.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
