Строение 1.5 · Идеальные газы

Этот раздаточный материал посвящёте Строение 1.5, Идеальные газы для курса, впервые оцениваемого в 2025. Весь материал относится к уровню SL и HL.

Предварительные требования: количество вещества $n$ в моль и молярная масса из Строения 1.4, а также преобразование уравнений. Вам понадобятся газовая постоянная $R = 8.31\ \text{J K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}$ и молярный объём $22.7\ \text{dm}^3\ \text{mol}^{-1}$ из справочника данных.

Почему взрывается герметичная банка в огне?

Нагрейте герметичную банку, и давление внутри возрастет, пока банка не треснет. Накачайте воздух в велосипедную шину, и она станет жестче. Сожмите шприц с воздухом, закрыв конец, и он будет отталкиваться. Одна простая модель объясняет все три явления.

Пять допущений

Кинетическая молекулярная теория представляет газ как огромное число крошечных частиц, движущихся быстро и хаотично. Идеальный газ — это газ, который точно следует этой модели:

1. Частицы движутся хаотично по прямым линиям до столкновения.
2. Собственный объём частиц пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда.
3. Между частицами отсутствуют межмолекулярные силы.
4. Все столкновения являются упругими: кинетическая энергия не теряется.
5. Средняя кинетическая энергия частиц прямо пропорциональна температуре в кельвинах.

Давление — это сила, приходящаяся на единицу площади, которую частицы оказывают при ударах о стенки сосуда. Увеличение числа ударов в секунду или их интенсивности приводит к росту давления.

Температура должна быть выражена в кельвинах

Шкала кельвинов начинается с абсолютного нуля, минимально возможной температуры, при которой частицы лишены кинетической энергии.

Температура в кельвинах прямо пропорциональна средней кинетической энергии частиц. Температура в градусах Цельсия таковой не является: $40\ ^{\circ}\text{C}$ не вдвое теплее, чем $20\ ^{\circ}\text{C}$, но $400\ \text{K}$ вдвое больше, чем $200\ \text{K}$. Все расчёты для газов производятся только в кельвинах.

Три зависимости для фиксированного количества газа

Измените одну величину, удерживайте другую постоянной и наблюдайте за третьей. Каждый результат объясняется на уровне частиц.

График зависимости $p$ от $V$ представляет собой кривую, поэтому его трудно использовать для проверки. Постройте график зависимости $p$ от $\dfrac{1}{V}$: прямая линия через начало координат доказывает, что $p \propto \dfrac{1}{V}$.

Закон объединённых газов

Три зависимости объединяются в одно уравнение для фиксированной массы газа:

Любые единицы давления и объёма подходят, при условии, что обе части уравнения используют одинаковые. Температура должна быть выражена в кельвинах.

Разобранный пример. Газ занимает $250\ \text{cm}^3$ при $20\ ^{\circ}\text{C}$ и $100\ \text{kPa}$. Его нагревают до $80\ ^{\circ}\text{C}$, и давление возрастает до $150\ \text{kPa}$. Найдите новый объём.

1. Переведите в кельвины: $T_1 = 293\ \text{K}$, $T_2 = 353\ \text{K}$.
2. Выразите переменную: $V_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{p_2 T_1}$.
3. Подставьте значения: $V_2 = \dfrac{100 \times 250 \times 353}{150 \times 293} = 201\ \text{cm}^3$.
4. Проверьте: более высокое давление сжимает газ, а более высокая температура расширяет его. Эти два эффекта почти компенсируют друг друга, поэтому объём, близкий к $250\ \text{cm}^3$, является разумным результатом.

Равные объёмы, равное число частиц

В идеальном газе объёмом частиц можно пренебречь, поэтому объём газа зависит только от количества частиц, а не от их природы. Закон Авогадро: равные объёмы всех газов при одинаковых температуре и давлении содержат одинаковое число частиц.

Следовательно, один моль любого идеального газа при заданных температуре и давлении имеет одинаковый объём. Это называется молярным объёмом. При нормальных условиях (НУ: $273\ \text{K}$ и $100\ \text{kPa}$):

Например, $0.500\ \text{mol}$ кислорода или углекислого газа при НУ занимают каждый по $0.500 \times 22.7 = 11.4\ \text{dm}^3$.

Поскольку объём пропорционален количеству вещества, коэффициенты в уравнении реакции для газов также указывают на их объёмное соотношение. В $\text{N}_2(\text{g}) + 3\text{H}_2(\text{g}) \rightarrow 2\text{NH}_3(\text{g})$ $10\ \text{cm}^3$ азота реагирует со $30\ \text{cm}^3$ водорода, образуя $20\ \text{cm}^3$ аммиака; все объёмы измерены при одинаковой температуре и давлении.

Уравнение идеального газа

Включение количества вещества в объединённый закон даёт уравнение идеального газа:

$R$ — это универсальная газовая постоянная, $8.31\ \text{J K}^{-1}\ \text{mol}^{-1}$. Единицы измерения должны соответствовать $R$:

Полезное упрощение: умножение кПа на дм$^3$ также даёт джоули, поэтому вы можете использовать кПа вместе с дм$^3$ в том же уравнении.

Разобранный пример: определение молярной массы. Образец газа массой $0.320\ \text{g}$ занимает объём $180\ \text{cm}^3$ при $300\ \text{K}$ и $100\ \text{kPa}$. Найдите его молярную массу.

1. Переведите: $p = 1.00 \times 10^{5}\ \text{Pa}$, $V = 180 \times 10^{-6} = 1.80 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$.
2. Количество вещества: $n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{1.00 \times 10^{5} \times 1.80 \times 10^{-4}}{8.31 \times 300} = 7.22 \times 10^{-3}\ \text{mol}$.
3. Молярная масса: $M = \dfrac{m}{n} = \dfrac{0.320}{7.22 \times 10^{-3}} = 44.3\ \text{g mol}^{-1}$.
4. Интерпретация: это значение близко к $44.0\ \text{g mol}^{-1}$, поэтому газом может быть углекислый газ или пропан.

Когда модель перестает работать

Реальный газ ведёт себя практически идеально при высокой температуре и низком давлении. Наибольшее отклонение наблюдается при низкой температуре и высоком давлении, так как в этих условиях перестают выполняться два допущения модели идеального газа.

• Высокое давление. Частицы сближаются, поэтому собственный объём частиц больше не является пренебрежимо малым. Пространство, доступное для движения частиц, меньше объёма сосуда, а измерённый объём оказывается больше, чем предсказывает $pV = nRT$.
• Низкая температура. Частицы движутся медленно, поэтому межмолекулярные силы притяжения успевают проявить своё действие. Частица, готовящаяся удариться о стенку, притягивается соседними частицами назад, из-за чего удар происходит слабее, и давление оказывается ниже предсказанного.

Газы с сильными межмолекулярными силами (например, аммиак и водяной пар) отклоняются от поведения идеального газа сильнее, чем газы со слабыми силами (например, гелий и водород).

Сравнить реальный газ с моделью можно, построив график зависимости $\dfrac{pV}{nRT}$ от давления. Для идеального газа это отношение равно точно 1 при любом давлении.

Измерение свойств газов в лаборатории

Для проверки $p \propto T$ нагрейте закрытую колбу с воздухом в водяной бане, подключённой к датчику давления. Дайте газу достичь температуры бани перед каждым снимком показаний и соблюдайте установленные учителем пределы температуры и давления. Никогда не нагревайте герметичный сосуд, не предназначенный для этого.

1. Переведите $-23\ ^{\circ}\text{C}$ и $127\ ^{\circ}\text{C}$ в кельвины.
2. Газ при $300\ \text{K}$ и $120\ \text{kPa}$ в жёстком контейнере охлаждают до $250\ \text{K}$. Найдите новое давление.
3. Вычислите объём $0.0400\ \text{mol}$ газа при н.у. в см$^3$.
4. Вычислите объём в дм$^3$ для $0.500\ \text{mol}$ газа при $298\ \text{K}$ и $101\ \text{kPa}$.
5. $1.00\ \text{g}$ газа занимает $0.763\ \text{dm}^3$ при $273\ \text{K}$ и $100\ \text{kPa}$. Найдите его молярную массу и определите, какой это газ.
6. Объясните, используя модель частиц, почему давление газа возрастает при нагревании при постоянном объёме.
7. Назовите два допущения модели идеального газа и объясните, почему каждое из них не выполняется при высоком давлении или низкой температуре.

Ответы.

1. $250\ \text{K}$ и $400\ \text{K}$.
2. $p_2 = 120 \times \dfrac{250}{300} = 100\ \text{kPa}$.
3. $0.0400 \times 22.7 = 0.908\ \text{dm}^3 = 908\ \text{cm}^3$.
4. $V = \dfrac{nRT}{p} = \dfrac{0.500 \times 8.31 \times 298}{101} = 12.3\ \text{dm}^3$ (кПа с дм$^3$).
5. $n = \dfrac{0.763}{22.7} = 0.0336\ \text{mol}$; $M = \dfrac{1.00}{0.0336} = 29.8\ \text{g mol}^{-1}$, близко к $30$: этан, $\text{C}_2\text{H}_6$ или оксид азота NO.
6. Частицы приобретают кинетическую энергию и движутся быстрее. Они ударяются о стенки чаще и с большей силой, поэтому сила на единицу площади возрастает.
7. Объёмом самих частиц пренебрегают: при высоком давлении частицы находятся близко друг к другу, и их собственный объём составляет значительную часть объёма сосуда. Межмолекулярными силами пренебрегают: при низкой температуре частицы движутся медленно, и силы притяжения стягивают их вместе, снижая давление.

• Перед подстановкой переведите все температуры в кельвины.
• В формуле $pV = nRT$ используйте Па с м$^3$ или кПа с дм$^3$; никогда не смешивайте кПа с м$^3$.
• В объединённом газовом законе для $p$ и $V$ подходят любые единицы измерения, главное, чтобы они совпадали по обе стороны равенства.
• Фраза «отклоняется при высоком давлении и низкой температуре» оценивается баллом только при наличии причины: объём частиц и межмолекулярные притяжения.
• Молярный объём $22.7\ \text{dm}^3\ \text{mol}^{-1}$ справедлив при нормальных условиях ($273\ \text{K}$, $100\ \text{kPa}$) только.