ИИ: методические указания к курсу

Версия: Первый этап оценки 2021

Это оригинальные учебные заметки, и каждый урок помечен своим уровнем сложности.

1 · Точная арифметика и оценивание

Можно ли упаковать всё без остатка?

• Поставщик упаковывает 72 карандашей и 90 ручек в одинаковые подарочные пакеты. Как избежать остатков?
• В этом уроке изучается простой множитель: простое число, которое делит целое число нацело.

Метод решения

• Разложение на простые множители выявляет общую структуру.
• Для НОД используйте наименьшие общие степени простых множителей, а для НКК — наибольшие.
• Оцените результат перед вычислением; используйте скобки для сохранения порядка выполнения операций.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• НОД делит оба числа; НКК является кратным обоим числам.
• Они отвечают на разные вопросы.
• Десятичная оценка не является точной дробью.

Применение

• Для контрольной работы без калькулятора сохраняйте дроби точными и показывайте сокращение.
• Для контрольной работы с калькулятором введите полное выражение и сравните результат с вашей оценкой.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.

1 · Проценты, отношения и пропорциональное рассуждение

Можно ли восстановить исходную цену?

• Пальто подешевело на 20% до ¥240. Скидка применяется к первоначальной цене, а не к цене продажи.
• Этот урок посвящён множителю: фактору, который выполняет процентное изменение за один шаг умножения.

Метод решения

• Увеличение на p% имеет множитель 1+p/100; уменьшение имеет множитель 1-p/100.
• Обратная операция с процентом выполняется делением на множитель.
• В пропорции сначала найдите общее количество частей.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Процент использует указанную базу.
• Вычитание процентов теряет эту базу.
• Для сложного изменения перемножайте множители; не складывайте проценты.

Применение

• Для прямой пропорциональности используйте y=kx; для обратной пропорциональности используйте y=k/x.
• Вычислите k из известной пары значений перед использованием нового значения.
• Укажите, что вы держали постоянным.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

1 · Числовые последовательности, ряды и рекуррентность

Изменение складывается или умножается?

• План накопления добавляет ¥30 каждую неделю; модель роста населения увеличивается на 5% ежегодно. Равные разности и равные отношения требуют разных моделей.
• Этот урок посвящён общему отношению: постоянному множителю между последовательными членами геометрической прогрессии.

Метод решения

• Для арифметической прогрессии u_n=a+(n-1)d и S_n=n(2a+(n-1)d)/2.
• Для геометрической прогрессии u_n=ar^(n-1) и S_n=a(1-r^n)/(1-r).
• Бесконечная геометрическая сумма существует только если |r|<1.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Первый член имеет индекс 1, поэтому показатель степени равен n-1.
• Последовательность — это список; ряд — это сумма.
• Геометрическая последовательность может менять знак и всё же сходиться.

Применение

• Объясните, оправдывает ли контекст аддитивные или мультипликативные изменения.
• В финансах различайте единовременный взнос и поток взносов перед выбором формулы суммы.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

1 · Модели последовательностей с повторными депозитами и тайминг

Какую временную шкалу описывает сумма?

• Два равных платежа могут принести разный доход по процентам, если один из них произведён раньше.
• В этом уроке изучается взнос: сумма, добавленная к счету в указанное время.

Метод решения

• Определите баланс сразу после указанного события и укажите начальный баланс.
• С множителем роста r и взносом d в конце периода B₀=0 и B_n=rB_(n−1)+d.
• n-й баланс равен d(1+r+…+r^(n−1))=d(r^n−1)/(r−1) для r≠1.
• Для r=1 используйте B_n=nd.
• Количество периодов n — неотрицательное целое число.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Не предоставляйте финальному взносу в конце периода дополнительный процентный период.
• Баланс включает как взносы, так и рост; это не только проценты.
• Точная цель и цель «не менее» требуют различных проверок на целочисленность.
• Цитируемую годовую ставку нельзя использовать как месячный множитель без соответствующего преобразования.

Применение

• Иллюстрация предполагает фиксированную ставку за период, равные взносы, отсутствие комиссий или снятий средств и указанные сроки начисления/выплаты процентов.
• Если эти параметры изменяются, уточните рекуррентную формулу: B_n=(1+i_n)B_(n−1)+d_n−w_n для взносов/снятий в конце периода.
• Ведите отдельный реестр платежей для отслеживания роста.
• Сравнивайте соседние балансы до утверждения о достижении первой цели; здесь все балансы неотрицательны, и B_n−B_(n−1)=0.05B_(n−1)+100>0.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

2 · Области определения, обратные функции и композиция

Какие входные данные допускаются?

• Модель квадратного корня возвращает действительный результат только для некоторых входных значений. Сама формула не определяет полную функцию.
• В этом уроке изучается область определения: множество допустимых входных значений функции.

Метод решения

• Укажите область определения и множество значений.
• Для нахождения обратной функции сначала убедитесь, что функция является взаимно однозначной на своей области определения.
• Композиция fg означает сначала применение g, затем f; промежуточный результат должен допустимым входным значением для f.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних решений.
• Ограничение области определения параболы необходимо перед тем, как утверждать существование обратной функции.
• Горизонтальный сдвиг внутри f имеет противоположный знак по сравнению с движением графика.

Применение

• Проверьте f(f⁻¹(x))=x на области определения обратной функции.
• Используйте набросок, чтобы проверить, пересекает ли горизонтальная линия исходный график более одного раза.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

2 · Регрессия, финансовые модели и остатки

Подтверждается ли прогноз данными?

• Линия предсказывает время в пути на автобусе в зависимости от расстояния. Небольшая вычислительная ошибка менее критична, чем использование модели вне её области применимости.
• На этом уроке изучается остаток (residual): разница между наблюдаемым значением и значением, предсказанным настроенной моделью.

Метод решения

• Линейная модель y=a+bx имеет отрезок a и наклон b с контекстными единицами измерения.
• Проанализируйте остатки и диапазон данных.
• Для повторяющихся процентных изменений используйте геометрическую модель; для кредита различайте основной долг, ставку, платёж и период.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Хорошая подгонка модели не доказывает наличие причинно-следственной связи.
• Коэффициент корреляции измеряет линейную зависимость, а не наклон.
• Вывод калькулятора необходимо перевести в форму модели, проверить и интерпретировать.

Применение

• В IB AI укажите источник данных, область применения, допущения и метод использования калькулятора.
• Сравните альтернативную модель и оцените прогнозы по остаткам.
• Финансовый ответ должен содержать информацию о сроках платежей и том, начисляется ли сложный процент.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.

2 · Экспоненциальные функции, логарифмы и моделирование

Почему модель убывания остается положительной?

• Концентрация лекарства уменьшается на одинаковый процент каждый час. Постоянное вычитание со временем привело бы к отрицательному значению.
• В этом уроке изучается период полураспада: время, за которое убывающая величина снижается до половины своего начального значения.

Метод решения

• Для функции y=Ae^(kt) параметр k является коэффициентом пропорциональной скорости.
• Логарифмирование дает ln y = ln A + kt.
• Логарифмы определены только для положительных аргументов, и log(x+y) ≠ log x + log y.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Подогнанная экспонента — это модель, а не гарантия.
• Укажите единицы измерения времени и диапазон применения.
• Отрицательное k описывает распад; отрицательное начальное значение обычно противоречит контексту задачи.

Применение

• Сравните фактические наблюдения с моделью.
• Систематические отклонения могут указывать на изменение условий.
• В отчете объясните физический смысл скорости и начального значения, а не просто приводите формулу.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

3 · Угловые рассуждения, подобие и метрические задачи

Масштабируется ли объем как длина?

• У модели длины составляют одну треть от реального объекта. Во сколько раз меньше его площадь и объем?
• Этот урок посвящен коэффициенту масштабирования: множителю, связывающему соответствующие длины в подобных фигурах.

Метод решения

• Для подобных фигур с масштабным коэффициентом длин k площади масштабируются как k², а объемы — как k³.
• Явно указывайте причины для углов.
• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Равенство углов само по себе устанавливает подобие, а не равенство размеров.
• Используйте соответствующие длины в одинаковом порядке.
• Конвертируйте линейные единицы перед вычислением площади или объема, либо правильно возведите коэффициент конвертации в квадрат/куб.

Применение

• Геометрическое доказательство должно называть соответствующую теорему, идентифицировать равный угол или отношение и сделать вывод.
• Масштабный чертеж является доказательством только тогда, когда задание допускает измерение.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

3 · Прямоугольные треугольники и произвольные треугольники

На какую сторону нужно поставить лестницу?

• Лестница достигает высоты 4 м, а её основание находится на расстоянии 3 м от стены. Какие стороны известны, и какой угол нам нужен?
• Этот урок посвящён гипотенузе: стороне, лежащей напротив прямого угла в прямоугольном треугольнике.

Метод решения

• В прямоугольном треугольнике a²+b²=c²; sinθ=противолежащий/гипотенуза, cosθ=прилежащий/гипотенуза и tanθ=противолежащий/прилежащий.
• Для других треугольников используйте теорему синусов или косинусов, либо площадь=ab sin C/2.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Обозначайте стороны относительно выбранного угла.
• Теорема Пифагора требует наличия прямого угла.
• Ошибка режима углов на калькуляторе может дать правдоподобный, но неверный результат.
• Сохраняйте нерасчетные значения для последующих шагов.

Применение

• Используйте план или вид спереди для трехмерной задачи перед применением теоремы о треугольнике.
• Объясните, почему выбранный треугольник содержит требуемую длину или угол.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

4 · Сводка данных, гистограммы и интерпретация

Может ли одно среднее значение рассказать всю историю?

• Две группы имеют одинаковую медиану, но разный разброс. Одного сводного показателя недостаточно для описания как положения, так и стабильности.
• На этом уроке изучается плотность частоты: частота, делённая на ширину класса, используется как высота гистограммы.

Метод решения

• Сравните соответствующую среднюю величину и разброс в контексте задачи.
• Гистограмма использует площадь для частоты, поэтому высота = частота / ширина класса.
• Оценки для интервальных данных предполагают наличие репрезентативных значений внутри интервалов.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Самый высокий столбец гистограммы не обязательно содержит наибольшее количество наблюдений.
• Среднее значение для интервальных данных является оценкой.
• Корреляция не доказывает причинно-следственную связь, а экстраполяция выходит за пределы наблюдаемого диапазона.

Применение

• Выберите представление данных, соответствующее типу данных.
• Дайте как числовое сравнение, так и его интерпретацию для генеральной совокупности; не преувеличивайте точность за пределы возможностей выборки.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

4 · Вероятность, деревья решений и условное рассуждение

Что меняется после первого извлечения?

• В мешке находятся 3 красных и 2 синих фишек. Извлечение двух фишек без возвращения изменяет вероятность появления второго цвета.
• Этот урок посвящен условной вероятности: вероятности события при ограничении выборочного пространства заданным условием.

Метод решения

• Умножайте вдоль ветви дерева и складывайте независимые ветви.
• При возврате состав остаётся неизменным.
• Условная вероятность P(A при B)=P(A∩B)/P(B), при P(B)>0.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Несовместные события означают отсутствие пересечения; независимые события означают, что знание одного события не изменяет вероятность другого.
• Два непересекающихся события с положительной вероятностью не являются независимыми.

Применение

• Двусторонняя таблица делает видимым ограниченный знаменатель.
• Перед использованием произведения P(A)P(B) обоснуйте независимость из контекста или предоставленной информации.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

4 · Биномиальное, нормальное и распределение Пуассона

Что делает подсчет предсказуемым?

• Контролер качества подсчитывает бракованные изделия. Это число является случайным, но модель может описать его вероятный диапазон.
• Этот урок посвящён математическому ожиданию: среднему арифметическому случайной величины с учётом весов вероятности.

Метод решения

• Биномиальная модель требует фиксированного n, независимых испытаний, двух исходов и постоянной p.
• E(X)=np и Var(X)=np(1-p).
• Для нормальной модели используйте z=(x-μ)/σ.
• Модель Пуассона описывает количество событий при постоянной интенсивности и соблюдении условий независимости.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Не каждое количество является биномиальным: изменение p или зависимость могут нарушить его применимость.
• Для непрерывной переменной вероятность точного значения равна нулю.
• Поправка на непрерывность важна при аппроксимации дискретного распределения нормальным.

Применение

• Запишите событие в виде неравенства перед использованием функций распределения калькулятора.
• Различайте P(X<k), P(X≤k) и вероятность дополнения хвоста.
• Укажите допущения в контексте задачи.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.

4 · Проверка гипотез и контекстные выводы

Could chance explain the result?

• Завод утверждает, что только 10% изделий являются бракованными. В выборке обнаружено больше дефектов, однако различия могут быть объяснены исключительно случайностью.
• Этот урок посвящён уровню значимости: выбранному пороговому значению вероятности для отвержения нулевой гипотезы.

Метод решения

• Сформулируйте H₀ и H₁ в терминах параметров генеральной совокупности до анализа результатов.
• Вычислите соответствующую одностороннюю вероятность при условии H₀.
• Отклоните H₀, если доказательство соответствует заданному правилу значимости; иначе укажите на отсутствие достаточных доказательств.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Непринятие H₀ не является доказательством истинности H₀.
• Определяйте сторону распределения по H₁, а не выбирайте ту, которая дает наименьший результат.
• Статистическая значимость не отражает практического масштаба эффекта.

Применение

• Завершите ответ предложением о генеральной совокупности и первоначальном утверждении.
• Укажите допущения модели и проверьте, поддерживает ли процедура выборки их выполнение.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

5 · Производные и стационарные точки

Что такое наклон в одной точке?

• Кривая дорога имеет разные наклоны в разных точках. Средний градиент не может описать каждую точку.
• Этот урок посвящен производной: мгновенной скорости изменения, а также градиенту касательной.

Метод решения

• Для y=ax^n производная dy/dx=anx^(n-1).
• Стационарная точка удовлетворяет условию dy/dx=0.
• Проверьте знак производной или вторую производную, если она отлична от нуля, чтобы классифицировать точку.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Нулевая производная не всегда означает максимум или минимум: y=x³ является стационарной точкой при 0, но продолжает возрастать.
• Граница области определения также может порождать экстремальное значение на ограниченном множестве.

Применение

• На уровне GCSE/IGCSE используйте только диапазон полиномов, разрешённый для данного уровня; не добавляйте правила сложной функции, произведения или частного там.
• На продвинутом уровне связывайте производную со скоростями и оптимизацией, учитывая корректную область определения.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

5 · Нахождение корней и численное интегрирование

Насколько надёжна аппроксимация?

• Нелинейное уравнение не имеет удобного точного решения. Аппроксимация всё же требует доказательств своей надёжности.
• Этот урок изучает итерацию: повторяющееся обновление, при котором каждое новое приближение вычисляется на основе предыдущего.

Метод решения

• Непрерывная функция, меняющая знак на двух концах отрезка, имеет корень между ними.
• Метод Ньютона использует x_следующее = x - f(x)/f'(x) при ненулевой производной.
• Метод трапеций приближенно вычисляет определенный интеграл с использованием высот на концах отрезка.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Смена знака через точку разрыва не доказывает наличие корня.
• Итерационный процесс может расходиться или переходить в цикл.
• Ошибка метода трапеций (завышение или занижение) зависит от выпуклости графика, а не только от монотонности возрастания функции.

Применение

• Укажите критерий остановки и сообщите разумную точность результата.
• Подтвердите найденный корень, указав промежуток со сменой знака вокруг округленного ответа; объясните возможный провал выбранного итерационного процесса.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.

IA · Планирование математического исследования

Что делает исследование математическим?

• Студент хочет предсказать время ожидания в очереди в школьной столовой. Полезное исследование требует вопроса, данных и математики, которую студент может объяснить.
• Этот урок изучает предположение: условие, принятое для возможности построения математической модели, влияние которого следует оценить.

Метод решения

• Сформулируйте конкретный вопрос с измеримыми переменными и выполнимым методом.
• Ведите dated запись решений, источников и математических рассуждений.
• Используйте технологии для поддержки анализа и объясняйте каждый важный вывод своими словами.

Разобранный пример

Где допускаются ошибки

• Не копируйте пример исследования, не выдумывайте данные и не создавайте искусственный личный интерес.
• Прогноз не является доказательством до тех пор, пока он не будет сопоставлен с наблюдениями.
• Согласие и конфиденциальность имеют значение при сборе школьных данных.

Применение

• Школа контролирует утверждение тем, промежуточные проверки, подлинность и оценку.
• Для текущего курса 2021 используйте текущее руководство и критерии школы; критерии запроса 2029 относятся к другой версии оценки.

В вашей программе

• Прикладная математика и интерпретация SL, курс, впервые оцениваемый в 2021.
• На каждом экзамене допускается использование калькулятора, однако баллы за метод требуют написания выражения или уравнения до подстановки его значения.