Gre Physics

Компьютерный GRE по физике для студентов бакалавриата

Примерно 70 вопросов с множественным выбором за 120 минут. Механика, электромагнетизм, оптика/волны, тепловая/статистическая физика, квантовая/атомная физика, относительность, лабораторные методы и специальные темы. Эквивалент A-Level не заявляется.

Официальный охват: https://www.ets.org/gre/test-takers/subject-tests/about/content-structure.html

CM · Классическая механика

• Второй закон Ньютона — это векторное утверждение. Выберите систему координат и определите ограничения до перехода к компонентным уравнениям.
• Закон сохранения энергии выполняется при учёте работы неконсервативных сил; закон сохранения импульса требует отсутствия суммарного внешнего импульса.
• Для малых колебаний линеаризовать уравнения вокруг устойчивого положения равновесия. Восстанавливающая сила, пропорциональная смещению, порождает гармонические колебания.
• Уравнения Лагранжа используют L=T−V и обобщённые координаты. Этот университетский формализм отличается от школьной замены сил.

Проверенный пример

Для массы m на пружине жёсткости k лагранжиан L=(1/2)m xdot²−(1/2)kx². Уравнение Эйлера–Лагранжа даёт m xddot+kx=0. Следовательно, угловая частота равна sqrt(k/m). Удвоение массы уменьшает частоту в корень из (2), а не в два раза.

Распространённая ошибка

Сохранение кинетической энергии не выполняется во всех столкновениях, даже если сохраняется импульс.

EM · Электромагнетизм

• Электрическое поле является отрицательным градиентом потенциала. Значение и пространственная производная — это разные величины.
• Использовать теорему Гаусса с учётом симметрии. Известный полный поток сам по себе не позволяет определить поле в каждой точке поверхности.
• Законы Кирхгофа отслеживают заряд и энергию в цепях. Напряжения индукции следуют изменению магнитного потока со знаком закона Ленца.
• Уравнения Максвелла связывают электрическое и магнитное поля. В вакууме волна имеет отношение E/B=c и переносит энергию.

Проверенный пример

Внутри сферической оболочки с равномерно распределённым зарядом симметрия и закон Гаусса дают E=0. Её потенциал постоянен внутри, но не обязательно равен нулю. При разряде RC-цепи V(t)=V₀ exp(−t/RC), и после одной постоянной времени она равна V₀/e.

Распространённая ошибка

Не используйте закон Гаусса для утверждения о однородном поле на произвольной несимметричной поверхности.

WO · Волны и оптика

• Сложите амплитуды волн, затем вычислите интенсивность. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды для той же среды.
• Разность хода даёт разность фаз 2πΔ/λ. Когерентные источники требуют стабильной относительной фазы.
• Для одной щели минимумы удовлетворяют условию a sin θ=mλ для ненулевых целых m. Для двойной щели условие интерференции иное.
• Геометрическая оптика требует указания знаков conventions (правила знаков). Волновые эффекты значительны, когда размеры отверстий сопоставимы с длиной волны.

Проверенный пример

Две равные когерентные волны имеют амплитуду A каждая. В фазе их общая амплитуда составляет 2A, а интенсивность — 4I₀. При разности фаз π амплитуда и идеальная интенсивность равны нулю. Прямое сложение интенсивностей упускает эффект интерференции.

Распространённая ошибка

Центральный максимум от одной щели не получается подстановкой m=0 в условие минимума.

TS · Термодинамика и статистическая механика

• Укажите правило знаков для первого начала термодинамики: ΔU=Q−W, где W — работа, совершённая системой над окружающей средой.
• Для обратимого двигателя между резервуарами КПД ограничен выражением 1−Tc/Th при использовании абсолютных температур.
• Веса Больцмана равны exp(−E/kT). Вероятности требуют деления на функцию распределения.
• Различия между предположениями Максвелла–Больцмана, Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака. Фермионы не могут занимать одинаковое одночастичное состояние.

Проверенный пример

Резервуары с температурами 600 K и 300 K обеспечивают максимальный обратимый КПД 1−300/600=0.5. Двигатель, получающий 1000 Дж, может выполнить не более 500 Дж работы в данных условиях. Одного лишь закона сохранения это ограничение не накладывает.

Распространённая ошибка

Отношения температур по шкале Цельсия нельзя использовать в формуле КПД цикла Карно.

QM · Квантовая механика и атомная физика

• Волновая функция состояния должна удовлетворять граничным условиям модели и иметь полную вероятность, равную единице: проинтегрируйте |ψ(x)|² по допустимой области. Для ортонормированных состояний φ_j суперпозиция ψ=Σc_jφ_j имеет квадрат нормы Σ|c_j|², поскольку перекрёстные члены при интегрировании обнуляются. Таким образом, в равновесной суперпозиции N ортонормированных состояний модуль коэффициента равен 1/sqrt(N). Вероятность обнаружения конкретной составляющей энергии равна |c_j|², а не c_j. Относительные фазы могут влиять на вероятности положения, даже если вероятности энергии остаются неизменными.
• Наблюдаемая величина представлена эрмитовым оператором. Его собственные значения действительны, а нормированное состояние даёт среднее значение ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Среднее значение — это усреднение по многократным повторениям экспериментов, а не результат одного измерения. Если A удовлетворяет полиномиальному тождеству, примените его к собственному состоянию: для A⁴=I действительное собственное значение должно быть +1 или −1. Сложный четвёртый корень исключается эрмитовостью, хотя и решает полином.
• Для бесконечного потенциального яма 0<x<L, условия ψ(0)=ψ(L)=0 допускают синусоидальные моды sin(nπx/L), где n=1,2,… . Их энергии равны E_n=n²π²ℏ²/(2mL²), поэтому основное состояние не равно нулю, а удвоение L делит каждую энергию на четыре. Эквивалентная формула через h выглядит как n²h²/(8mL²); никогда не подставляйте h вместо ℏ без его множителя 2π. Вместо конечного барьера допускаются экспоненциальные «хвосты», а бегущая волна в классически разрешённой области имеет осциллирующую, а не экспоненциально затухающую пространственную зависимость.
• Операторы коммутируют, когда [A,B]=AB−BA=0; совместимые наблюдаемые могут иметь общий базис собственных векторов. Поскольку кинетическая энергия p²/(2m) является функцией p, она коммутирует с p. Потенциал, зависящий от координаты, обычно приводит к тому, что H=p²/(2m)+V(x) не коммутирует с p. Момент импульса подчиняется соотношениям [J_x,J_y]=iℏJ_z и циклическим перестановкам, тогда как J² коммутирует с каждым из компонент. Атомные переходы сопровождаются испусанием фотона с положительной энергией, равной разнице уровней; моменты импульса и правила отбора, специфичные для механизма, ограничивают допустимые переходы.

Проверенный пример

Для бесконечной потенциальной ямы E2=4E1 и E3=9E1. Переход с n=3 на n=2 высвобождает 5E1. Удвоение L снижает каждую энергию в четыре раза. При n=0 волновая функция обращается в ноль, что не соответствует физическому состоянию.

Распространённая ошибка

Стационарное состояние может иметь ненулевую энергию, даже если его плотность вероятности не зависит от времени.

RA · Релятивистская теория, лабораторные методы и специализированные темы

• Специальная теория относительности использует γ=1/sqrt(1−v²/c²). Энергия покоя равна mc², а полная энергия — γmc².
• Для независимых малых неопределенностей суммируйте вклады по квадратам; коррелированные неопределенности требуют членов ковариации.
• Случайное рассеяние влияет на точность; смещение при калибровке влияет на правильность. Логарифмический график может выявить степенную зависимость.
• Вопросы по ядерной физике, физике частиц, физике конденсированного состояния и астрофизике требуют вузовской лексики и моделей. Школьной физики недостаточно для полного обучения.

Проверенный пример

При v=0.6c, γ=1/sqrt(0.64)=1.25. Полная энергия составляет 1.25mc²; кинетическая энергия равна (γ−1)mc²=0.25mc². Для y=ab с независимыми малыми относительными неопределенностями 3% и 4%, относительная неопределенность равна sqrt(3²+4²)%=5%.

Распространённая ошибка

Линейное сложение процентных неопределенностей дает оценку наихудшего случая, но не является стандартной статистической неопределенностью независимых величин.

AT · Атомные спектры и правила отбора

• Для водородоподобных одноэлектронных ионов связанные энергии масштабируются как −13.6 Z²/n² эВ в простейшем нерелятивистском приближении. Испускание требует перехода вниз и положительной энергии фотона.
• Орбитальный момент имеет l=0,…,n−1 и m_l=−l,…,l. Спин электрона добавляет s=1/2; полный момент объединяет орбитальные и спиновые вклады.
• Правила отбора для электрического диполя включают Δl=±1 и Δm=0,±1. Эти правила касаются конкретного механизма взаимодействия; слово «запрещено» не означает невозможности при любом другом механизме.
• Тонкая структура, спин-орбитальное взаимодействие и расщепление Зеемана уточняют простейшую модель атома водорода. Во многоэлектронных атомах экранирование и взаимодействие электронов делают прямую подстановку водородных энергий некорректной.

Проверенный пример

В атоме водорода E1=−13.6 эВ и E2=−3.4 эВ. Излучение 2p→1s высвобождает 10.2 эВ и удовлетворяет условию Δl=−1. Переход 2s→1s имеет Δl=0, поэтому он запрещён электрическим диполем, хотя разность энергий та же самая.

Распространённая ошибка

Не допускайте отрицательного значения (энергия конечного состояния минус энергия начального состояния) для испускаемого фотона.

SN · Твердотельные, ядерные и частичные модели

• Заполненные зоны не могут переносить обычный ток без доступных соседних состояний. Металлы имеют частично заполненные или перекрывающиеся зоны; полупроводники имеют малую ширину запрещенной зоны. Введение донорных и акцепторных примесей изменяет концентрацию носителей.
• Занятие по Ферми–Дираку равно 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. При нулевой температуре оно превращается в ступеньку на уровне Ферми; тепловое уширение не приводит к тому, что каждое состояние занимает ровно половина вероятности.
• Числа радиоактивных ядер подчиняются закону N=N0e^(−λt), активность равна λN, а период полураспада равен ln2/λ. Энергия связи возникает из дефицита массы, умноженного на c²; при обсуждении стабильности сравнивайте энергию связи на нуклон.
• Ядерные и частичные процессы должны сохранять заряд, энергию, импульс и соответствующие квантовые числа. Бета-распад включает нейтрино или антинейтрино; история только с участием двух электронов не может объяснить непрерывный спектр его энергии.

Проверенный пример

После трех периодов полураспада N/N0=(1/2)^3=1/8, поэтому активность также уменьшается в восемь раз, если λ остается неизменным. Дефект массы в 0.010 а.е.м. соответствует примерно 9.315 МэВ с учетом соотношения 1 а.е.м. c²=931.5 МэВ.

Распространённая ошибка

Активность и выжившая популяция оба уменьшаются, но их единицы различны: активность — это число переходов в секунду.

AH · Гамильтонова механика и астрофизические масштабирования

• Канонический импульс равен p=∂L/∂qdot. Преобразование Лежандра H=p qdot−L даёт гамильтониан, когда скорости можно выразить через координаты и импульсы.
• Уравнения Гамильтона имеют вид qdot=∂H/∂p и pdot=−∂H/∂q. Для обычного осциллятора H=p²/(2m)+kq²/2 они воспроизводят уравнение Ньютона.
• Для круговой гравитационной орбиты v²=GM/r, а период²=4π²r³/(GM). Предположения включают преобладание центральной массы и приближение круговой орбиты; для эллиптических орбит в законе Кеплера используется полуось большой оси. Для спутника массой m модуль момента импульса равен mrv=m sqrt(GMr), поэтому у идентичных спутников L пропорционален sqrt(r). Отношение радиусов 9 даёт отношение моментов импульса 3, а отношение периодов равно 27. Это различие следует из одного и того же уравнения центростремительной силы; не используйте масштабирование периода для вычисления момента импульса.
• Светимость и получаемый поток подчиняются соотношению F=L/(4πd²) для изотропного излучения. Чёрное тело имеет L=4πR²σT⁴; его спектральный максимум смещается обратно пропорционально температуре. Различайте собственную светимость и наблюдаемую яркость.

Проверенный пример

Для осциллятора qdot=p/m и pdot=−kq, следовательно qddot=−(k/m)q. Если звезда с такой же светимостью находится вдальше, получаемый поток составляет одну четвёртую часть, хотя собственная светимость остаётся неизменной.

Распространённая ошибка

Гамильтониан равен полной механической энергии только при соблюдении соответствующих условий системы; не следует делать этот вывод универсально исключительно на основании названия.

CM.1 · Столкновения, работа и энергия осциллятора

• Выберите изолированную систему во время короткого столкновения. При пренебрежимо малом внешнем импульсе сохраняйте полный импульс отдельно в каждом декартовом направлении. Если массы m1 и m2 слипаются, их общая скорость равна (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Найдите модуль только после сложения векторов. Начальная кинетическая энергия — это сумма каждого члена ½m|v|²; конечная кинетическая энергия рассчитывается с использованием общей массы и общей скорости. Их разница превращается во внутреннюю энергию или деформацию, а не в «потерянный» импульс. Совершенно неупругое столкновение означает слипание, а не окончательную остановку.
• Теорема о работе и кинетической энергии ΔK=∫F·dr использует результирующую силу вдоль перемещения. Для постоянной параллельной силы на пути s, ΔK=Fs. Удвоение скорости увеличивает кинетическую энергию в четыре раза. Закон сохранения механической энергии — отдельное утверждение, не требующее учёта необучтённой неконсервативной работы. При смещении пружины x, U=½kx². При той же приложенной силе F равновесное удлинение равно F/k, а запасённая энергия — F²/(2k): более жёсткая пружина растягивается меньше и накапливает меньше энергии. При том же смещении она накапливает больше. Определите, какое условие остаётся фиксированным.
• Вблизи устойчивого равновесия x0 разложите U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; эффективная жёсткость положительна U″(x0). Движение описывается уравнением m xddot=−k_eff(x−x0), с частотой ω=sqrt(k_eff/m) и периодом 2π/ω. Простой маятник подчиняется уравнению θddot+(g/L)sinθ=0. Для малых углов sinθ≈θ, поэтому T=2πsqrt(L/g). Это приближение объясняет масштабирование периода от длины; при большой амплитуде требуется поправка, а масса сокращается для идеального маятника.
• Для незатухающего гармонического осциллятора полная энергия равна ½m v²²+½kx²²=½kA²². В положении равновесия вся её энергия является кинетической; в точке поворота скорость равна нулю, и вся энергия — потенциальная. Угловая частота не совпадает с обычной частотой: ω=2πf. Если у того же осциллятора максимальная скорость в положении равновесия равна vmax, то A=vmax/ω. Различайте момент времени измерения скорости и начальное смещение при отпускании, а также соблюдайте единицы СИ, если ответ требуется в миллиджоулях.

Проверенный пример

Тележка массой 2 кг со скоростью (3,0) м/с слипается с тележкой массой 1 кг со скоростью (0,3) м/с. Импульс равен (6,3) кг·м/с, поэтому конечная скорость равна (2,1) м/с. Начальная кинетическая энергия K=9+4.5=13.5 Дж; конечная K=½·3·5=7.5 Дж. Прирост внутренней энергии составляет 6 Дж. Отдельно, осциллятор массой 0.5 кг имеет равновесную скорость 0.2 м/с: его полная энергия равна 0.01 Дж, или 10 мДж.

Распространённая ошибка

Не складывайте модули скоростей как импульсы и не сохраняйте кинетическую энергию при абсолютно неупругом ударе (сцеплении). Сравнения пружин с постоянной силой и с постоянным удлинением дают противоположные результаты.

CM.2 · Вращение, плавучесть и баланс предельной скорости

• Момент силы относительно неподвижной точки равен r×F; его величина использует перпендикулярное плечо. Для однородного стержня длиной L, закреплённого одним концом, гравитация действует в центре на расстоянии L/2, а момент инерции равен ML²/3. Если угол θ отсчитывается от вертикали, то модуль гравитационного момента равен Mg(L/2)sinθ, следовательно, модуль углового ускорения равно 3g sinθ/(2L). Определите направление положительного вращения перед назначением знака. Использование момента инерции центра масс ML²/12 без параллельной коррекции даст неверное ускорение.
• Тело, катящееся без проскальзывания, удовлетворяет условию v=Rω. Запишите полную кинетическую энергию как ½Mv²+½Iω². При I=βMR², вращательная доля равна β/(1+β); для сплошного диска β=1/2, а доля равна 1/3. Окружность имеет β=1 и долю 1/2. Статическое трение может обеспечивать необходимый момент для качения без рассеивания энергии в мгновенно неподвижной точке контакта с неподвижной поверхностью. Скользящее тело автоматически не удовлетворяет соотношению отсутствия проскальзывания.
• Для плавающего составного тела сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, суммированному по всем погруженным частям. Пусть деревянный брусок имеет объем V, а тяжелый камень — объем Vs. Если камень находится над водой, только погруженная часть дерева создает подъемную силу: ρwater g fV равно общему весу. Если камень прикреплен снизу и полностью погружен, его вытесненный объем уменьшает необходимую погруженную долю дерева до f−Vs/V. Камень не перестает иметь вес; теперь вода обеспечивает часть его поддержки. Проверьте, являются ли предполагаемая ориентация и плавание физически возможными.
• Предельная скорость означает нулевое ускорение, а не нулевую скорость или нулевую силу. При квадратичном сопротивлении C v² и весе Mg вниз, пренебрегая плавучестью, получаем vt=sqrt(Mg/C). Два иначе идентичных шара имеют одинаковый коэффициент сопротивления C; удвоение массы умножает предельную скорость на sqrt(2). Если важна плавучесть, замените Mg на (M−ρfluid V)g. Линейная модель сопротивления дает иное масштабирование по массе. Укажите указанное закон сопротивления и сравните балансы сил, а не переносите формулу между моделями.

Проверенный пример

Твердый диск катится без проскальзывания: I=MR²/2 дает вращательную K=¼Mv², поступательную K=½Mv² и долю вращения 1/3. Композит из дерева и камня первоначально вытесняет 0.60V за счет одного лишь дерева. Если камень имеет объем 0.10V и полностью погружен под воду, требуемый погруженный объем дерева составляет 0.50V. Общий вытесненный объем остается равным 0.60V.

Распространённая ошибка

Используйте момент инерции относительно выбранной точки опоры. При плавании включите вытеснённый объём камня, а не только его вес. Предельная скорость требует указанного закона сопротивления.

CM.3 · Связанное ускорение и относительное движение

• Для массы m1 на горизонтальном столе без трения, соединенной через идеальный невесомый блок с подвешенной массой m2, примите движение по столу и движение подвешенного груза вниз за положительные направления. Натянутая нерастяжимая нить обеспечивает одинаковый модуль ускорения. Запишите T=m1a и m2g−T=m2a. Сложение уравнений исключает внутреннее натяжение, поэтому a=m2g/(m1+m2) и T=m1m2g/(m1+m2). Таким образом, T<m2g при положительных массах. Приравнивание натяжения весу подвешенного груза неявно предполагает нулевое ускорение.
• Предположение о равенстве натяжений требует идеальной невесомой нити и блока с пренебрежимо малым трением и инерцией. Блок с моментом инерции может иметь разное натяжение, где (T2−T1)R=Iα и a=Rα, если нить не проскальзывает. Изображайте каждое тело отдельно: сила, являющаяся внутренней для системы в целом, остается внешней силой для выбранного отдельного тела. Ограничивающие силы могут сокращаться в уравнении системы, но все еще необходимы для движения отдельных тел.
• Для двух инерциальных систем отсчета с постоянной относительной скоростью V преобразование скоростей Галилея имеет вид v_отн=v_земл−V. Груз, выпущенный горизонтально летящим самолетом, изначально имеет горизонтальную скорость самолета. При пренебрежении сопротивлением воздуха горизонтальная скорость относительно земли остается постоянной, а вертикальная скорость становится −gt, если вверх — это положительное направление. Относительно этого самолета горизонтальная скорость равна нулю, а скорость падения составляет gt. Положение — другой вопрос: вертикальное смещение равно −½gt². Не путайте скорость относительно земли со скоростью относительно самолета.
• Проверяйте предельные случаи после решения. При стремлении m1 к нулю идеальное связное ускорение стремится к g, а натяжение — к нулю; при очень большом росте m1 ускорение стремится к нулю, а натяжение приближается к m2g снизу. Вывод через энергию дает m2g s=½(m1+m2)v² для отпускания из состояния покоя и идеального блока, согласуясь с v²=2as. Это совпадение проверяет уравнения, но не допускает сохранения энергии, если присутствуют трение или другая неучтенная работа.

Проверенный пример

При m1=3 кг, m2=2 кг и g=10 м/с², ускорение равно 4 м/с², а натяжение нити — 12 Н, что ниже веса подвешенного груза 20 Н. Из состояния покоя после спуска на 0.5 м, v²=2·4·0.5=4, так что v=2 м/с. Груз, выпущенный самолетом с постоянной горизонтальной скоростью 80 м/с, имеет земную скорость (80,−30) м/с через 3 с, но относительную скорость (0,−30) м/с.

Распространённая ошибка

Идеальный невесомый блок приравнивает натяжение, а не натяжение и вес. Вычитайте компоненты скоростей кадров друг из друга перед вычислением модуля скорости.

EM.1 · Электростатическое наложение, поток и проводники

• Для точечного заряда Q в точке r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Складывайте векторы, а не модули поля. Для двух положительных зарядов, притягивающих электрон, силы в одном направлении складываются; в противоположных — вычитаются; перпендикулярные компоненты объединяются по теореме Пифагора. Сначала определите точку наблюдения и направление каждой силы. Потенциал является скалярной суммой V=ΣQ/(4πε0r) с нулем на бесконечности. Нулевой потенциал обычно не означает нулевого поля, поскольку E=−∇V.
• Закон Гаусса представляет собой интеграл по замкнутой поверхности ∮E·dA=Q_охваченная/ε0. Он определяет локальное поле просто только тогда, когда симметрия делает нормальное поле однородным или обнуляет другие вклады в поток. Заряд рядом с бесконечной плоскостью отправляет половину своего общего потока через эту плоскость по величине: плоскость занимает телесный угол 2π из 4π. Результат не зависит от расстояния и бокового положения, но его знак зависит от выбранной нормали плоскости и знака заряда. Открытая плоскость не охватывает заряд; использование формулировки «замкнутая поверхность» для нее неверно.
• В электростатическом равновесии электрическое поле внутри проводящего материала равно нулю, а потенциал проводника постоянен. Поместите заряд Q в центр проводящей сферической оболочки с внутренним радиусом a, внешним радиусом b и суммарным зарядом q. Гауссова поверхность внутри материала требует заряда на внутренней поверхности −Q, следовательно, на внешней поверхности находится заряд q+Q. Сферическая симметрия делает внешнее поле таким же, как от точечного заряда Q+q в центре. Потенциал материала, отсчитываемый от нуля на бесконечности, равен (Q+q)/(4πε0b) и не зависит от расстояния наблюдения внутри материала.
• Внутри полости этой сферической оболочки с зарядами в центре поле равно Q/(4πε0r²) и направлено радиально для 0<r<a. Потенциал включает как вклад точечного заряда, так и постоянные вклады от оболочки; непрерывность сохраняется на каждой поверхности, хотя нормальная составляющая поля испытывает скачок на поверхностном заряде. Разделяйте полость, материал проводника и внешнее пространство. Смещённый заряд по-прежнему индуцирует полный внутренний заряд −Q, но поле в полости больше не является простым радиальным центральным полем. Нулевое поле внутри проводника следует из равновесия, а не из предположения о равномерности распределения каждого поверхностного заряда.

Проверенный пример

Примите Q=+2 нКл, заряд оболочки q=−1 нКл и b=0.30 м. Внутренняя поверхность имеет −2 нКл; внешняя поверхность имеет +1 нКл. Используя 1/(4πε0)=9×10⁹, потенциал во всем проводящем материале равен 30 В, а его напряженность поля равна нулю. Отдельно компоненты притяжения 3 Н вправо и 4 Н вверх складываются по модулю в 5 Н, а не в 7 Н.

Распространённая ошибка

Не путайте результат половины потока для открытой плоскости с полным заключённым зарядом. Нулевое поле проводника фиксирует постоянный потенциал, который не обязательно равен нулю.

EM.2 · Мощность цепи, индукция и движение заряженных частиц

• For steady ideal resistor circuits, series resistances add and parallel conductances add. Reduce a network while preserving which nodes share the same voltage. With a 24 V source, a 2 Ω series resistor and parallel 3 Ω and 6 Ω branches, the parallel equivalent is 2 Ω. Total current is 6 A, branch voltage is 12 V and branch currents are 4 A and 2 A. The current through every component is not necessarily the total current; verify Kirchhoff current and voltage sums after reduction.
• Для синусоидального тока I=Imax sin(ωt−φ), среднее действующее значение Irms=Imax/sqrt(2). Полная impedance последовательной RLC-цепи равна sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²), а средняя рассеиваемая мощность Irms²R=Vrms Irms cosφ. Идеальные катушки индуктивности и конденсаторы обмениваются запасённой энергией без средней диссипации. Если действующий ток уже дан, не добавляйте дополнительный множитель 1/2. Идеальный выпрямительный диод проводит ток в прямом направлении и блокирует его в обратном: расположенный последовательно диод обрезает отрицательную полуволну напряжения на резисторе; сам по себе он не создаёт двухполупериодный выпрямитель.
• Магнитный поток равен ∫B·dA или BA cosθ для однородного поля, где θ отсчитывается от нормали к площади. ЭДС Фарадея равна −N dΦ/dt. Для изменяющегося перпендикулярного поля и фиксированной геометрии контура её среднее модульное значение равно NA|ΔB|/Δt. Знак или направление тока определяйте по противодействию изменению потока, а не самому полю. Магнитное поле в центре одного кругового витка равно μ0I/(2R) и выводится из закона Био–Савара: каждый элемент вносит вклад в одном аксиальном направлении. K-витковая компактная катушка умножает этот результат на N.
• Для нерелятивистского заряда со скоростью, перпендикулярной однородному магнитному полю, магнитная сила |q|vB обеспечивает центростремительную силу mv²/r. Отсюда радиус r=mv/(|q|B), а циклотронная угловая частота равна |q|B/m и не зависит от скорости в данном приближении. Знак заряда определяет направление вращения. Дейтрон имеет примерно удвоенную массу протона и тот же заряд, тогда как альфа-частица имеет четырёхкратную массу и удвоенный заряд; их частоты составляют половину от значения для протона. В скрещённых полях E и B отсутствие отклонения требует, чтобы электрическая и магнитная силы были направлены противоположно, при этом v=E/B. Перед использованием этого соотношения проверьте векторные направления.

Проверенный пример

In the 24 V network, 2 Ω in series with (3 Ω parallel 6 Ω) gives total 4 Ω, current 6 A and the 6 Ω branch current 2 A. A 100-turn coil of area 0.020 m² has perpendicular field rise by 0.030 T in 0.10 s: average emf magnitude is 0.60 V. A velocity selector with E=6000 V/m and B=0.20 T selects speed 30000 m/s.

Распространённая ошибка

Не применяйте напряжение источника ко всей ветви и не делите мощность переменного тока на два ещё раз. Угол потока отсчитывается от нормали к площади; селектору также требуются противоположные направления сил.

EM.3 · Волны Максвелла, поток энергии и граничные условия

• Закон Ампера–Максвелла в вакууме: ∮B·dl=μ0(I_проводимости+ε0 dΦE/dt). Добавленный член тока смещения зависит от скорости изменения электрического потока через выбранную поверхность. Он обеспечивает согласованность результатов для контура, чья охватывающая поверхность либо пересекает проводник конденсатора, либо проходит между обкладками. Ток смещения — это не магнитный поток и не интеграл по предыдущему электрическому потоку. Для однородного поля пластин вклад зазора составляет ε0A dE/dt; знаки определяются ориентированной поверхностью.
• В однородной, линейной, без потерь диэлектрической среде с проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью ε уравнения Максвелла дают скорость волны v=1/sqrt(με) и показатель преломления n=c/v=sqrt(μrεr). Для немагнитных материалов μr≈1, поэтому v=c/sqrt(εr). Используйте указанные частотно-зависимые константы среды, когда важна дисперсия; статическая диэлектрическая проницаемость не обязательно описывает каждую оптическую частоту. В вакууме E/B=c; в данной простой среде соотношение имеет вид E/B=v.
• Для плоской волны, распространяющейся вдоль единичного вектора n, B=(n×E)/v. Оба поля перпендикулярны направлению распространения и друг другу. Фаза kz−ωt распространяется в сторону +z, а kz+ωt — в сторону −z. Если E направлен вдоль x+y, а распространение идет в +z, то B направлен вдоль −x+y, поскольку z×x=y и z×y=−x. Вектор Пойнтинга S=E×H (E×B/μ в данной среде) указывает направление переноса энергии. В зоне излучения ускоренного заряда поток энергии направлен от источника наружу, а не обязательно по мгновенному направлению движения заряда.
• Уравнение дивергенции Максвелла ∇·B=0 дает непрерывность нормальной компоненты B через интерфейс: тонкий «таблетка» не содержит магнитных зарядов внутри. Скачок тангенциальной H связан с поверхностным током; он не обязан равняться нулю. При идеализированной модели состояния Мейсснера сверхпроводника с нулевым внутренним B нормальная компонента снаружи на границе должна быть равна нулю, оставляя любую ненулевую внешнюю B тангенциальной поверхности. Этот вывод условен относительно заявленной модели с нулевым внутренним полем; он не следует из предположения, что все внешнее поле равно нулю. Для электростатики нормальная D может скакать на величину свободного поверхностного заряда.

Проверенный пример

Немагнитная среда с εr=9 имеет скорость волны c/3=1.0×10⁸ м/с. Для волны +z с E, пропорциональным x+y, направление B равно −x+y, а E×B указывает на +z. На плоской границе Мейсснера с нулевым внутренним B внешнее поле может быть тангенциальным, но не может иметь ненулевой нормальной компоненты.

Распространённая ошибка

Ток смещения основан на изменяющемся электрическом потоке. Нулевое внутреннее B фиксирует внешнюю нормальную компоненту, а не все внешние компоненты. Различайте распространение волны и движение частиц.

WO.1 · Акустические доплеровские эхо-сигналы и границы стоячих волн

• Для звука в неподвижной среде разделяйте движение источника и движение наблюдателя. Источник, движущийся навстречу со скоростью u_s, сжимает расстояние между волновыми фронтами и вызывает принимаемую частоту f c/(c−u_s) у неподвижного наблюдателя. Наблюдатель, движущийся навстречу неподвижному источнику со скоростью u_o, встречает больше волновых фронтов в секунду и измеряет f(c+u_o)/c. Скорости измеряются относительно среды; формулы акустического источника и наблюдателя несимметричны при обмене ролями. Движение удаления меняет соответствующий знак. Эти выражения предполагают дозвуковое движение вдоль линии распространения.
• Для сирены, движущейся к неподвижной отражающей стенке со скоростью u, стенка сначала принимает частоту f_wall = f c/(c−u). Отражение от неподвижной стенки сохраняет частоту в системе отсчета среды. Движущийся источник затем приближается к возвращающимся волновым фронтам и принимает эхо с частотой f_echo = f_wall(c+u)/c = f(c+u)/(c−u). При малых значениях u/c дробное смещение приблизительно равно 2u/c, однако точное выражение имеет различные числитель и знаменатель. Движущаяся отражающая поверхность требует собственного шага по формуле Доплера; не используйте результат для неподвижной стенки бездумно.
• На идеальном открытом конце трубы перемещение воздуха являетсяills-узлом (антиузлом), а изменение давления — узлом. На жестком закрытом конце перемещение образует узел, а давление —ills-антиузел. Для трубы с двумя открытыми концами длина L содержит n полуволн, что дает f_n = nc/(2L), где n=1,2,… . Для трубы с одним закрытым концом она содержит нечетное число четвертей длины волны, что дает f_n = (2n−1)c/(4L). В реальных трубах могут потребоваться поправки на конец; идеальная модель GRE использует указанную длину без придумывания корректировок.
• Закрытие одного из ранее открытых концов трубы уменьшает основную частоту вдвое и оставляет только нечётные кратные этой новой основной частоте. Её старые частоты были целыми кратными c/(2L), что является чётными кратными c/(4L); следовательно, ни одна из них не является разрешённой частотой новой идеальной трубы с одним закрытым концом. Это отличается от простого удаления чётных гармоник при сохранении старой основной частоты. Когда среда не меняется, скорость волны остаётся неизменной; частота и длина волны изменяются совместно, чтобы удовлетворить новой граничной геометрии.

Проверенный пример

A 500 Hz siren approaches a fixed wall at 10 m/s in air with c=340 m/s. The echo heard by the driver is 500·350/330=530.3 Hz. For a 0.85 m ideal pipe in the same air, the both-open fundamental is 200 Hz, while the one-closed spectrum begins 100, 300, 500 Hz. None of the original 200, 400, 600 Hz lines is retained.

Распространённая ошибка

Эхо требует обоих множителей Доплера. Закрытие трубы меняет основной тон; нечетные гармоники отсчитываются от нового основного тона, а не от старого.

WO.2 · Оптические приборы, разности хода и преломление

• Для идеального астрономического телескопа, настроенного на расслабленное зрение на бесконечности, объектив формирует изображение в своей фокальной плоскости, а окуляр делает выходящий свет параллельным. Расстояние между линзами равно f_objective+f_eyepiece; модуль углового увеличения равен f_objective/f_eyepiece. Обычный телескоп с двумя собирающими линзами дает перевернутое изображение, которое представляется отрицательным знаком углового увеличения при согласованной конвенции. Конечное расстояние изображения конечной плоскости меняет расстояние между линзами; не используйте настройку на бесконечность без проверки условия.
• Разрешающая способность R=λ/Δλ описывает минимальное различимое разделение длин волн вблизи λ. Для идеальной дифракционной решётки в порядке m с N освещёнными щелями R=mN. Это критерий разрешения, а не просто формула углового положения d sinθ=mλ. Увеличение числа освещённых щелей делает главные максимумы острее; увеличение расстояния между щелями mainly меняет их угловые положения. Измеренные λ=600 нм и Δλ=3 нм дают R=200, независимо от перевода обеих величин в метры, поскольку их отношение использует одинаковые единицы.
• Интерференция Майкельсона зависит от оптической разности хода лучей по плечам. Если одно плечо содержит газовую ячейку геометрической длины L, а показатель преломления изменяется от n до 1 при откачке, двойной проход изменяет ход на 2L(n−1). Если проходит N полос, величина этого изменения равна Nλ, следовательно n−1=Nλ/(2L). Для движущегося зеркала смещение Δx даёт изменение хода 2Δx. Полосы считают фазовые циклы; одна полоса соответствует одной длине волны оптического хода, а не одной длине волны движения зеркала.
• Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

Проверенный пример

A relaxed-view telescope has lens separation 80 cm and eyepiece focal length 16 cm. Its objective focal length is 64 cm and magnification magnitude is 4. Evacuating a 5 cm gas cell causes 80 fringes at wavelength 500 nm: n−1=80·500×10⁻⁹/(2·0.05)=0.0004. The initial gas index is 1.0004, not 1.0008.

Распространённая ошибка

Используйте оптический путь, а не просто геометрическое расстояние. Углы преломления отсчитываются от нормали к фактической поверхности, а добавление фокусного расстояния телескопа предполагает формирование изображения на бесконечности.

WO.3 · Симметрия Фурье и суперпозиция волн

• Для достаточно регулярной вещественной 2периодической функции запишите f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Коэффициенты определяются как a_n=(1/π)∫от−πдоπ f(x)cos(nx)dx и b_n=(1/π)∫от−πдоπ f(x)sin(nx)dx, где a0 вычисляется при n=0. Косинусы и синусы ортогональны на полном периоде. Среднее значение равно a0/2, а не a0; сохраняйте постоянный член, даже если все ненулевые частотные коэффициенты одного семейства равны нулю.
• Если f является четной относительно выбранного начала координат, то f(x)sin(nx) — нечетная функция, и её симметричный интеграл равен нулю, поэтому все b_n обращаются в ноль. Если f нечетна, то её среднее значение и все a_n равны нулю. Симметрия зависит от начала координат: сдвиг того же физического сигнала может смешать синусоидальные и косинусоидальные коэффициенты, не изменяя его гармонических частот. Поэтому неотрицательная треугольная волновая форма, симметричная относительно x=0, может иметь косинусоидальные гармоники и ненулевое среднее значение без каких-либо синусоидальных гармоник.
• Для 2периодического продолжения f(x)=|x| на [−π,π] среднее значение равно π/2. Интегрирование x cos(nx) по частям на [0,π] дает a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), так что косинусоидальные коэффициенты с четным n равны нулю, а с нечетным n равны −4/(πn²). Все синусоидальные коэффициенты равны нулю. Спад ~1/n² отражает непрерывную функцию с разрывом производной. Скачкообразный разрыв обычно дает более медленный спад коэффициентов и перерегулирование частичных сумм; не делайте вывод о таком же поведении сходимости для каждой волновой формы.
• Ряд Фурье складывает амплитуды с их фазами. Для равных когерентных монохроматических амплитуд A, встречающихся с разностью фаз φ, квадрат результирующей амплитуды равен 2A²(1+cosφ), следовательно, интенсивность составляет 2I0(1+cosφ). Она равна 4I0 при совпадении фаз и равна нулю при φ=π. Непроизвольное усреднение устраняет перекрестный член, давая результат 2I0. Гармоники с разными частотами могут формировать форму во времени; их мгновенная сумма не равна сумме их отдельных интенсивностей. Определите, касается ли вопрос волновой формы, усредненной по времени мощности или когерентной интерференции.

Проверенный пример

Для f(x)=|x| с периодическим продолжением первое косинусоидальное приближение имеет вид π/2−(4/π)cos x. Оно четно и имеет нулевые синусоидальные коэффициенты. При x=0 оно принимает значение π/2−4/π≈0.298, что приближается к точному значению 0 при добавлении всех нечетных косинусоидальных членов. Две одинаковые когерентные волны с разностью фаз π/2 имеют интенсивность 2I0; их поля не гасят друг друга полностью.

Распространённая ошибка

Чётная симметрия устраняет коэффициенты при синусах, но не свободный член или все косинусные гармоники. Проверьте начало координат для симметрии и когерентность полей перед суммированием интенсивностей.

TS.1 · Газовые процессы, энтропия и обратимые циклы

• Используйте ΔU=Q−W, где Q — тепло, поступающее в систему, а W — работа, совершённая системой. Квантостатическая граничная работа равна ∫P dV и положительна при расширении. Для фиксированного количества идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры. При постоянном объёме W=0, поэтому ΔU=Q; для изотермического процесса идеального газа ΔU=0, следовательно, Q=W. Адиабатный процесс означает Q=0, а не постоянную температуру. За цикл состояние возвращается к исходному, и ΔU=0, поэтому суммарное количество теплоты равно суммарной работе, несмотря на то, что отдельные этапы имеют разные тепловые обмены.
• Для обратимого изотермического расширения идеального газа произведение PV постоянно. При постоянных теплоёмкостях обратимый адиабатный путь описывается уравнением PV^γ=const, где γ=Cp/Cv>1; проходя через одно и то же начальное состояние, давление падает быстрее по мере увеличения объёма. Изобарный путь изображается горизонтальной линией на диаграмме P–V. Замкнутый цикл, обходимый по часовой стрелке, имеет положительное значение ∮P dV; изменение направления меняет знак. Для прямоугольной петли величина работы равна ΔPΔV, а для треугольной петли — половине площади соответствующей описывающей прямоугольной фигуры. Используйте Па и м³ для джоулей, а не переводные значения литров.
• Для обратимого теплопередачи dS=δQ_rev/T; энтропия является функцией состояния, тогда как тепло зависит от пути. В обратимом процессе «система + окружение» полное изменение энтропии равно нулю, но энтропия самой системы может возрастать или убывать. Необратимые спонтанные процессы порождают неотрицательное полное изменение энтропии. Обратимое изотермическое расширение увеличивает энтропию газа на nR ln(V2/V1); резервуар теряет ровно такое же количество. Обратимость не требует постоянной температуры системы, отсутствия работы или неизменности внутренней энергии.
• Обратимый двигатель между TH и TC имеет КПД W/QH=1−TC/TH. Обратимый холодильник вместо этого имеет COP=QC/W=TC/(TH−TC), а тепловой насос QH/W=TH/(TH−TC). Используйте абсолютные температуры в кельвинах. На обратимой T–S диаграмме величина тепла вдоль изотермы равна T, умноженному на изменение энтропии; площадь прямоугольника Карно равна величине работы. Холодильный цикл перемещает тепло от холодного к горячему за счет потребления работы, обращая цикл двигателя. COP может превышать единицу без нарушения закона сохранения, поскольку перемещаемое тепло не обеспечивается исключительно работой.

Проверенный пример

A clockwise P–V rectangle spans 1×10⁵ to 3×10⁵ Pa and 0.001 to 0.004 m³. Work and net entering heat are 600 J. Reversing it gives −600 J. A Carnot refrigerator operates at TC=280 K and TH=300 K with entropy transfer 2 J/K: QC=560 J, QH=600 J, work input=40 J and COP=14.

Распространённая ошибка

Нулевое суммарное производство энтропии не означает нулевого изменения энтропии системы. Для холодильника используется формула TC/(TH−TC), а не формула КПД двигателя.

TS.2 · Распределения скоростей и статистические ансамбли

• Для непрерывной плотности вероятности скорости f(v), f(v)dv приближенно представляет вероятность в узком интервале и ∫from0to∞ f(v)dv=1. Плотность имеет единицы, обратные скорости, и сама по себе не является вероятностью. Если P(v)dv подсчитывает частицы в этом интервале, его площадь равна числу частиц N, а f=P/N. Трапеция, возрастающая на ширине v0, оставшаяся горизонтальной на ширине 2v0, затем убывающая на ширине v0, имеет площадь 3av0 для высоты a. Нормируйте по площади перед вычислением среднего значения или интерпретацией высоты на графике.
• В изотропном равновесном газе без макроскопического течения каждое распределение компонент скорости симметрично, поэтому ⟨v_vector⟩=0. Скорость v=|v_vector| неотрицательна и имеет положительное среднее значение. Для классического идеального газа плотность скоростей Максвелла пропорциональна v²exp[−mv²/(2kBT)]. Ее мода равна sqrt(2kBT/m), среднее значение равно sqrt(8kBT/(πm)), а среднеквадратичная скорость равна sqrt(3kBT/m). Это три различные величины. Множитель v² делает плотность скоростей равной нулю при v=0, хотя плотность вектора скорости максимальна в нулевом векторе.
• Для непрерывного распределения вероятность точного одного заданного значения скорости равна нулю; ненулевые вероятности относятся к интервалам. Это утверждение не означает отсутствие частиц с произвольно малыми скоростями или невозможность регистрации нуля детектором конечного разрешения. Температура изменяет масштаб распределения Максвелла: характерные скорости пропорциональны sqrt(T/m). Удвоение температуры не удваивает скорость, а более тяжёлые частицы в среднем движутся медленнее при той же температуре.
• В каноническом ансамбле при температуре T состояние с энергией E_i имеет вес exp(−E_i/(kBT)). Разделите на функцию суммирования состояний Z=Σexp(−E_i/(kBT)), чтобы получить вероятности. Если уровень энергии имеет вырождение g_i, его вероятность уровня равна g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Равенство энергии на состояние не означает равенства вероятности на уровень при различном вырождении. Для основного уровня с вырождением 1 и возбужденного уровня с вырождением 2 при Δ=kBT ln2, общий вес возбужденного уровня составляет 2e^(−ln2)=1: каждый из двух уровней имеет вероятность 1/2. Предположения классической статистики Максвелла–Больцмана отличаются от квантовых заселений Bose–Einstein и Fermi–Dirac.

Проверенный пример

Трапециевидная плотность числа частиц имеет N=90 частиц, v0=2 м/с и ширину плато 2v0. Его площадь равна 3av0, что дает a=15 частиц на единицу скорости. Для ансамбля с двумя уровнями с вырождениями 1 и 2 и щелью kBT ln2, Z=2, а вероятность возбужденного уровня равна 1/2. Вероятность каждого отдельного возбужденного состояния равна 1/4.

Распространённая ошибка

Высота плотности — это не вероятность. Среднее значение скорости, средняя скорость и мода различаются; учитывайте вырождение перед нормировкой вероятностей уровней.

LM.1 · Статистика подсчета, неопределенность и размерные модели

• Для N независимых падающих частиц, каждая из которых регистрируется с вероятностью p, количество X имеет биномиальное распределение: среднее Np и дисперсия Np(1−p). Стандартное отклонение равно sqrt[Np(1−p)], а не самой дисперсии. При большом N и малом p приближение Пуассона имеет среднее λ=Np и дисперсию λ, так что отклонение равно sqrt(λ). Для N=200 и p=0.05 точное среднее равно 10, а отклонение равно sqrt(9.5)≈3.08, тогда как Пуассон дает sqrt(10)≈3.16. Ни одна модель не гарантирует фиксированное количество. Коррелированные регистрации или мертвое время могут нарушить независимость.
• Для гладкой измеряемой функции y(x1,…), линейизируйте изменения с помощью ее частных производных. Независимые малые стандартные неопределенности комбинируются в квадратуре: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Коррелированные входные данные требуют ковариационных перекрестных членов. Для y=x^a относительная стандартная неопределенность приблизительно равна |a|σ_x/|x|. Таким образом, кинетическая энергия K=½mv² с пренебрежимо малой неопределенностью массы имеет относительную неопределенность вдвое большую, чем у скорости. При независимой неопределенности массы комбинировать (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². Эти приближения требуют малых ошибок и подходящей локальной линейной модели.
• Случайный разброс характеризует точность; общая калибровочная систематическая погрешность влияет на правильность и не исчезает при усреднении повторных измерений. Для независимых повторных показаний стандартная неопределенность среднего уменьшается как 1/sqrt(n), но общая систематическая ошибка нет. Неопределенность физического разброса и неопределенность его оцененного среднего — это разные величины. Укажите, является ли приведенный процент стандартной неопределенностью, доверительным интервалом или границей наихудшего случая. Суммирование абсолютных вкладов дает консервативную границу, а не правило квадратуры независимых стандартных ошибок.
• Размерный анализ приравнивает степени массы, длины и времени, а не числовые значения. Для формы Планковской длины G^a ℏ^b c^d размерности: [G]=L³/(MT²), [ℏ]=ML²/T и [c]=L/T. Требование длины дает −a+b=0, 3a+2b+d=1 и −2a−b−d=0. Отсюда a=b=1/2 и d=−3/2, следовательно длина равна sqrt(Gℏ/c³). Размерный анализ не может определить произвольный безразмерный коэффициент или доказать, что выбранные константы физически достаточны. Отклоните формулу с неверными размерностями перед подстановкой чисел.

Проверенный пример

Для N=200 и p=0.05 ожидаемое число детектирований равно 10, а среднее квадратичное отклонение — sqrt(9.5). Если неопределённость скорости составляет 4% (малое стандартное отклонение), а неопределённость массы пренебрежимо мала, то неопределённость кинетической энергии приблизительно равна 8%. Дименсионные показатели (1/2,1/2, −3/2) дают нулевую степень массы, первую степень длины и нулевую степень времени для выражения sqrt(Gℏ/c³).

Распространённая ошибка

Не путайте среднее значение с гарантированным количеством, дисперсию со стандартным отклонением или случайную стандартную ошибку с систематической погрешностью калибровки. Размерная согласованность необходима, но недостаточна.

RA.1 · Релятивистская продолжительность жизни, энергия и эффект Доплера

• Для относительной скорости v определите β=v/c и γ=1/sqrt(1−β²). Собственное время измеряется вдоль мировой линии частицы часами, покоящимися вместе с ней. Если среднее собственное время жизни равно τ0, то среднее время жизни в лаборатории составляет γτ0, а средняя пройденная дистанция при постоянной скорости равна vγτ0. Распад является статистическим процессом: среднее время жизни не гарантирует точное время распада для каждой отдельной частицы. При β=0.8, γ=5/3. Вычисляйте события в пространстве-времени последовательно в одной системе отсчета; собственное время и координатное время — это различные величины.
• Полная энергия E=γmc², импульс p=γmv, а инвариант E²−p²c²=m²c⁴. Когда E и pc выражены в одних единицах энергии, найдите mc²=sqrt(E²−(pc)²), а не E−pc. Необходим неотрицательный корень для положительной массы покоя. При E=13 ГэВ и pc=12 ГэВ, энергия покоя составляет 5 ГэВ, а масса равна 5 ГэВ/c². Безмассовая частица имеет E=pc, но не обязательно нулевую энергию или импульс. Эти соотношения касаются четырехмерного импульса изолированной частицы, а не классического mv при релятивистской скорости.
• Работа по разгону частицы из состояния покоя равна кинетической энергии K=E−mc²=(γ−1)mc². При β=0.6, γ=1.25 и K=0.25mc², в то время как классическая формула ½mv² дает 0.18mc². Классическая кинетическая энергия представляет собой разложение при малых скоростях и становится неточной вблизи c. Конечная работа ускорения увеличивает γ, но не позволяет массивной частице достичь или превысить скорость света. При интерпретации единиц ответа различайте полную энергию, энергию покоя и кинетическую энергию.
• Для чисто продольного относительного удаления в специальной теории относительности отношение длин волн r=λ_наблюдаемое/λ_излученное=sqrt((1+β)/(1−β)). Преобразование дает β=(r²−1)/(r²+1). Отношение r=2 дает β=3/5, а не c times (r−1), полученное из приближения малых скоростей. Синее смещение (blueshift) используется при r<1 и отрицательном параметре удаления по данной конвенции. Формула предполагает, что сдвиг полностью кинематический; космологическое расширение или гравитационное красное смещение требуют иной модели. Укажите установленную в вопросе модель перед интерпретацией спектрального отношения.

Проверенный пример

Частица имеет среднее собственное время жизни 3 мкс и движется со скоростью 0.8c. Её время жизни в лаборатории составляет 5 мкс, а средняя пройденная дистанция равна 0.8·3×10⁸·5×10⁻⁶=1200 м. Продольное отношение длин волн 2 подразумевает скорость удаления 0.6c. Частица с полной энергией 13 ГэВ и импульсом pc=12 ГэВ имеет энергию покоя 5 ГэВ.

Распространённая ошибка

Не используйте собственное время жизни как время в лаборатории, не вычитайте pc из E для нахождения массы покоя и не применяйте классическое приближение Доплера для больших отношений длин волн.

AT.1 · Фотоэлектроны, приведенная масса и атомное возбуждение

• Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов Kmax=hν−ϕ для частоты фотона выше пороговой ν0=ϕ/h. Величина запирающего потенциала удовлетворяет условию eVs=Kmax, поэтому Vs линейно зависит от ν выше порога. Увеличение интенсивности при фиксированной частоте увеличивает количество доступных фотонов и обычно ток фотоэффекта, но не максимальную энергию фотоэлектронов. Ниже пороговой частоты простая однофотонная модель не испускает фотоэлектроны независимо от интенсивности. Работа выхода является свойством поверхности, а не пропорциональна частоте освещения.
• Характеристические рентгеновские лучи возникают, когда электрон заполняет вакансию внутренней оболочки, излучая фотон, равный разнице энергий оболочек. Их узкие линии зависят от атомов мишени. Тормозное излучение возникает при замедлении быстрых электронов в электрических полях ядер и создает непрерывный фон, граница которого определяется энергией падающих электронов. Непрерывный фон и дискретные линии могут присутствовать одновременно; наличие одного не исключает другого. Эти механизмы отличаются от видимой флуоресценции, рассеяния фононов и захвата частиц.
• Для атома, подобного водороду (двухчастичная система), массу электрона замените на приведенную массу μ=m_eM/(m_e+M). В простом кулоновском модели энергии уровней масштабируются как −μZ²/n², поэтому спектральные частоты масштабируются как μZ², а длины волн — обратно пропорционально. Для позитрония M=m_e, μ=m_e/2, и его постоянная Ридберга равна половине значения для бесконечной массы ядра. Для тяжелого ядра μ стремится к m_e. В многоэлектронных атомах используйте заполнение орбиталей и правило Хунда вместо модели водород-like: вырожденные орбитали занимаются по одному электрону с параллельными спинами перед спариванием. Конфигурация углерода 2p² дает два неспаренных электрона и полный спин S=1; конфигурация кислорода 2p⁴ также имеет два неспаренных электрона и S=1. Заполненные пары дают нулевой суммарный спин.
• В экспериментах Франка–Герца ускоренные электроны теряют энергию через неупругое возбуждение, достигая атомного порога. Повторяющееся снижение тока или расстояние между пиками при ускоряющем напряжении может therefore идентифицировать ту же энергию возбуждения, потерянную один, два или более раз. Расстояние ΔV соответствует энергии eΔV; пики при 4,8,12 В не обязательно представляют три отдельных уровня энергии возбуждения. Контактные потенциалы и тормозящие поля могут смещать абсолютные положения пиков, поэтому используйте расстояние и указанные условия установки. Если возбужденный атом возвращается испусканием одного фотона этой энергии, длина волны равна hc/(eΔV).

Проверенный пример

Using h=4.136×10⁻¹⁵ eV·s, light at 8×10¹⁴ Hz has photon energy 3.3088 eV. With work function 2.0 eV, Kmax=1.3088 eV and stopping magnitude 1.3088 V. Excitation spacing 4 V gives 4 eV and, using hc≈1240 eV·nm, a 310 nm return photon. Positronium spectral wavelengths are twice the infinite-mass hydrogen values at matching transitions.

Распространённая ошибка

Ток насыщения и задерживающее напряжение отвечают на разные вопросы. Учитывайте приведенную массу и вырождение орбиталей, используйте интервалы Франка–Герца, а не рассматривайте каждый пик как новый уровень энергии.

QM.1 · Рассеяние, вырождение и операторы Паули

• Для постоянного потенциала V и энергии E>V пространственные решения имеют вид бегущих множителей exp(±ikx), где k=sqrt[2m(E−V)]/ℏ. На конечных ступенях при той же массе частицы волновая функция и ее первая производная непрерывны. В задаче рассеяния при падающей слева волне и отсутствии падающей справа волны решение в удаленной правой области содержит только правую бегущую компоненту Ae^(ikx). Если конечная яма возвращается к внешнему потенциалу, волновое число внешней прошедшей волны совпадает с падающим, несмотря на различие волновых чисел внутри ямы. Экспоненциально затухающие решения описывают области E<V, но не любую потенциальную яму.
• Для скачка от V1 к V2, когда обе области классически разрешены, запишите амплитуду падающей плюс отражённой волны в области 1 и амплитуду прошедшей волны в области 2. Условие непрерывности даёт r=(k1−k2)/(k1+k2) и t=2k1/(k1+k2). Вероятность отражения R=|r|²; пропускание T=(k2/k1)|t|², так как плотность вероятностного тока зависит от волнового числа. Следовательно, R+T=1 для безпотерянного скачка. Не прибавляйте к R необработанную квадратуру прошедшей амплитуды без множителя тока. При k2=3k1, R=1/4 и T=3/4, несмотря на нисходящий скачок.
• Трёхмерный изотропный осциллятор расщепляется на моды x,y,z с неотрицательными целыми числами n_x,n_y,n_z. Его энергия равна (N+3/2)ℏω, где N=n_x+n_y+n_z. Для частицы со спином 0, различимой, пространственная вырожденность — это количество таких троек: (N+1)(N+2)/2. Это учитывает различные назначения, а не только различные неупорядоченные разбиения. Для N=2, шесть состояний — это перестановки (2,0,0) и (1,1,0). Для N=3, вырожденность составляет 10. Дополнительные ограничения спина или тождественных частиц изменили бы задачу подсчёта.
• Матрицы Паули: σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Каждая возводится в квадрат до единичной матрицы. Прямое умножение даёт σ_xσ_y=iσ_z и σ_yσ_x=−iσ_z, поэтому различные матрицы Паули антикоммутируют. Циклические произведения x→y→z дают положительное i; изменение порядка меняет знак. Общая формула: σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Порядок матриц важен: σ_xσ_z=−iσ_y, а не iσ_y или просто σ_y. Эти безразмерные матрицы становятся операторами спина S_i=ℏσ_i/2, приобретая физические единицы и множители.

Проверенный пример

На безпотерянном скачке при k2=3k1, r=−1/2 и t=1/2. R=1/4, T=3·1/4=3/4, и их сумма равна единице. Изотропный осциллятор со спином 0 при E=(9/2)ℏω имеет N=3 и вырожденность 10. Умножение σ_x на σ_y даёт diag(i,−i)=iσ_z.

Распространённая ошибка

Вероятность пропускания требует отношения токов через волновые числа. Вырождение осциллятора считает упорядоченные тройки мод. Не меняйте порядок матриц Паули без изменения знака.

SN.1 · Ядерная связность, семейства частиц и носители эффекта Холла

• Энергия связи B — это энергия, необходимая для разделения ядра на его отдельные свободные нуклоны, равная соответствующему дефициту масс, умноженному на c². Энергия связи на нуклон B/A является релевантной величиной для сравнения ядер с разными массовыми числами; более тяжелое ядро может иметь большую полную энергию B, но меньшую B/A. Широкий максимум B/A находится в районе железа/никеля. Слияние легких ядер и деление очень тяжелых ядер могут выделять энергию, если продукты имеют большую полную энергию связи. Для реакции Q=(начальная масса покоя − конечная масса покоя)c²; положительное Q означает выделенную энергию. Всегда сравнивайте конкретные указанные изотопы и конечные продукты, а не просто названия элементов.
• Лептоны, такие как электроны, мюоны и нейтрино, не состоят из составляющих кварков в Стандартной модели. Отрицательный мюон имеет заряд −e и спин 1/2, подобно электрону, но обладает другой массой и относится к другому семейству вкусов; он не является мезоном, несмотря на историческое название. Гадроны содержат кварки: обычные мезоны состоят из одного кварка и одного антикварка, а обычные барионы — из трех кварков. Соответствующие антибарионы состоят из трех антикварков. Эти элементарные классификационные модели не предполагают, что каждая составная частица является простым барионом или мезоном.
• Проверять заряд, энергию, импульс, барионное число и соответствующие лептонные числа в предлагаемом процессе. Кварки протона uud суммируются к заряду +e; нейтрона udd — к нулю. Бета-минус распад n→p+e−+антинейтрино сохраняет электрический заряд и включает антинейтрино для баланса лептонного числа и кинематики. Масса частицы сама по себе не классифицирует её как кварк, лептон или гадрон. Пороги реакций могут требовать кинетической энергии сверх экзотермической разницы масс покоя при наличии других ограничений.
• В простом проводнике с одним типом носителей поперечная магнитная сила Лоренца создает поперечное электрическое поле Холла до тех пор, пока поперечная сила на носители не уравновесится. При заявленной тензорной/знаковой конвенции коэффициент Холла равен R_H=1/(nq); отрицательный q дает электрон-подобный отрицательный коэффициент, положительный q — дыркоподобный положительный коэффициент. Величина удельного сопротивления сама по себе не раскрывает этот знак. Установите согласованные направления тока, магнитного поля и напряжения перед снятием сырой полярности. Полупроводники, в которых участвуют и электроны, и дырки, требуют двухносительной модели с учетом подвижности; простой коэффициент не должен быть равен обратной величине полной концентрации носителей.

Проверенный пример

Если ядро A имеет B=24 МэВ и A=4, его B/A составляет 6 МэВ; если ядро B имеет B=80 МэВ и A=10, его B/A равно 8 МэВ, несмотря на то, что оба имеют положительную энергию связи. Заряды кварков uud суммируются к +e, udd — к 0. В образце с одним типом носителей плотностью n и зарядом −e, R_H=−1/(ne); сырой знак напряжения Холла имеет смысл только при фиксированных направлениях выводов и поля.

Распространённая ошибка

Сравнивать энергию на нуклон, а не только полную энергию. Мюон является лептоном, а знак Холла требует заявленной конвенции измерения и модели носителей.

CM.4 · Ограничения, вариационные уравнения и циклические координаты

• Ограничение исключает одну независимую координату до составления кинетической энергии. Для маятника с фиксированной длиной выберите θ от вертикали вниз: x=l sinθ и y=−l cosθ. Дифференцирование обеих координат дает v²=l²θdot², а не l² sin²θ θdot². Таким образом, T=ml²θdot²/2 и V=mgl(1−cosθ), где нулевой потенциал находится внизу. Фиксированная длина является голономным ограничением: это соотношение между координатами и, возможно, временем. Ограничение на скорость качения требует отдельного анализа; не подменяйте автоматически каждое ограничение заменой координат.
• Для ограничений идеалов и обычного консервативного системы уравнение стационарного действия имеет вид d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0, где L=T−V. Вариации обращаются в ноль на двух временных границах. Математический маятник дает ∂L/∂θdot=ml²θdot и ∂L/∂θ=−mgl sinθ, поэтому ml²θddot+mgl sinθ=0. Производная импульса действует на каждый зависящий от времени множитель: для изменяющегося радиуса d(mr²θdot)/dt содержит член 2mr rdot θdot. Вариационный метод не означает сохранения механической энергии в системе, зависящей от времени.
• Для плоского центрального движения L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Угол θ является циклическим, так как L не зависит от θ явно, даже если L зависит от θdot. Его канонический импульс pθ=mr²θdot постоянен. Радиальное уравнение: m rddot=mrθdot²−dV/dr. Первый член является частью координатного ускорения, а не новой реальной выталкивающей силой в инерциальной системе отсчета. Сохранение pθ приводит к увеличению угловой скорости при уменьшении r; постоянная угловая скорость — это иной случай, требующий внешнего управления.
• Вблизи устойчивого равновесия q0 разложим V до второго порядка и используем постоянный локальный инерционный параметр M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Тогда частота малых колебаний равна sqrt(V″/M). Для маятника sinθ≈θ в радианах, поэтому ω=sqrt(g/l); это приближение требует малой амплитуды. Отрицательное значение V″ дает неустойчивость, а не колебания с мнимой измеримой частотой. Сначала проверьте полное нелинейное уравнение, затем укажите приближение и сравните размерности: V″/M должно иметь размерность обратной величины квадрата времени.

Проверенный пример

При l=2 м и g=10 м/с², θddot=−5 sinθ. При θ=0.10 рад точное ускорение равно −0.4992 рад/с², что близко к значению −0.500, полученному методом линейного приближения. Период малых колебаний составляет 2π/sqrt(5)=2.810 с. Для орбиты под действием центральной силы уменьшение r от 3 м до 1.5 м при сохранении pθ увеличивает угловую скорость θdot в 4 раз, а не в 2 раз.

Распространённая ошибка

Циклическая координата отсутствует в самом L; ее скорость может быть присутствующей. Не отбрасывайте производную по времени от меняющегося множителя r².

CM.5 · Ускоряющиеся и вращающиеся системы отсчета

• В системе отсчета с перемещением (трансляцией) с ускорением начала A уравнение Ньютона принимает вид m a′=F_real−mA. Поэтому для лифта, движущегося вверх с ускорением, в земной системе отсчета N−mg=ma, или N−mg−ma=0 для неподвижного пассажира в системе отсчета лифта. Это одно и то же предсказание. Дополнительный член — это кажущаяся сила, вызванная выбранным ускоряющимся координатным базисом; она не представляет нового контакта с другим телом. Равномерная трансляция с A=0 меняет скорость, но не требует кажущейся силы.
• Для вращающегося базиса дифференцирование вектора добавляет член Ω×этого вектора. Применение этого дважды дает a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Здесь r и v′ измеряются относительно движущегося начала в его вращающихся осях; все векторы в расчете должны быть выражены в одном и том же базисе в один и тот же момент времени. Перенесите последние три вращательных члена в правую часть, чтобы получить силу Кориолиса −2mΩ×v′, центробежную силу −mΩ×(Ω×r) и силу Эйлера −mΩdot×r. Постоянное вращение убирает член Эйлера, но не член Кориолиса.
• Примите Ω вдоль +z, платформу против часовой стрелки, наблюдаемую сверху, и частицу в точке r вдоль +x. Центробежная сила направлена вдоль +x с величиной mΩ²r. Если частица движется наружу со скоростью v′ вдоль +x, тогда Ω×v′ направлен вдоль +y, поэтому сила Кориолиса указывает в сторону −y. Обратная относительная скорость обращает силу Кориолиса в противоположную сторону; сохранение v′=0 делает ее равной нулю. Сила Кориолиса перпендикулярна v′ и не совершает мгновенной работы над этим относительным движением. Центробежная сила направлена от оси вращения, а не обязательно от выбранного начала координат в произвольном трехмерном положении.
• Тело, покоящееся на платформе, имеет a′=v′=0. При постоянной скорости вращения и фиксированном начале координат его истинная сила должна быть равна mΩ×(Ω×r), направленной внутрь, компенсируя кажущийся член, направленный наружу, в уравнении для вращающейся системы. Если скорость вращения изменяется, то для компенсации эйлерова члена также необходима касательная истинная сила. Всегда проверяйте предельный случай Ω→0 и A→0: обычное инерциальное ньютоновское движение должно восстановиться. Не смешивайте требование истинной центростремительной силы с добавочной внешней реакцией, действующей на то же тело; пары взаимодействия должны рассматриваться в отдельных диаграммах свободного тела.

Проверенный пример

Для m=2 кг, Ω=2 рад/с вдоль +z, r=1 м вдоль +x и outward v′=3 м/с, центробежная сила составляет +8 Н по оси x, а сила Кориолиса — −24 Н по оси y. Сила Эйлера равна нулю при постоянном Ω. Если реальная сила равна нулю, a′=(4,−12) м/с² в этот момент. Отдельный пассажир массой 10 кг в лифте, ускоряющемся вверх со скоростью 2 м/с², испытывает N=120 Н при g=10.

Распространённая ошибка

Относительная скорость v′ должна использоваться в члене Кориолиса. Использование полной инерциальной скорости приведет к двойному учету вращения.

CM.6 · Непрерывность жидкости, энергия давления и вязкое течение

• Для установившегося течения масса, проходящая через последовательные поперечные сечения за единицу времени, одинакова: ρAv является константой. Несжимаемая жидкость имеет практически постоянную плотность ρ, поэтому Q=Av — это расход объема. Уменьшение радиуса трубы вдвое уменьшает площадь в четыре раза и увеличивает среднюю скорость в четыре раза при том же Q. Давление само по себе не определяет Q без модели остальной части системы. В неподвижной жидкости dp/dz=−ρg (где z направлен вверх); следовательно, давление увеличивается на ρgh на глубине h под поверхностью. Используйте абсолютное или манометрическое давление последовательно на обеих сторонах уравнения.
• Для установившегося несжимаемого невязкого движения вдоль линии тока без насосов и диссипативных потерь уравнение Бернулли дает p+ρv²/2+ρgz=const. Эти три члена представляют собой энергию на единицу объема и имеют размерность давления. На одной высоте большая скорость требует меньшего статического давления при данных допущениях. Более высокий выход также использует давление/кинетическую энергию для приобретения гравитационной энергии. Закон Бернулли вдоль одного линии тока не обязательно означает ту же константу для разных линий тока в вихревом потоке. Точка торможения характеризуется v=0 и преобразует локальную кинетическую энергию в повышение давления в идеальной модели.
• Вязкость переносит импульс между соседними слоями жидкости. Для установившегося полностью развитого ламинарного течения ньютоновской несжимаемой жидкости в круглой трубе Q=πR⁴Δp/(8ηL). Здесь Δp — падение давления вдоль трубы, η — динамическая вязкость, а L — длина трубы. Удвоение радиуса при фиксированных Δp, η и L увеличивает Q в шестнадцать раз. Удвоение Q при неизменной геометрии требует удвоения падения давления. Это вязкое падение давления нельзя прибавлять к уравнению Бернулли без потерь так, как будто ничего не меняется; необходимо включить диссипативное падение давления/напора или использовать вязкую модель.
• Число Рейнольдса Re=ρvD/η сравнивает инерциальные и вязкие эффекты, используя характерную скорость v и длину D. Для трубы используйте среднюю скорость и внутренний диаметр, а не радиус. Re безразмерен: плотность, умноженная на скорость и длину, имеет те же единицы, что и динамическая вязкость. Малые значения Re способствуют доминированию вязкости; переход к турбулентности зависит от геометрии и возмущений, поэтому единый порог не является универсальным законом. Масштабирование Пуазёйля небезопасно после предположения о турбулентном течении. Проверьте непрерывность объема, знак изменения давления и режим перед выбором формулы.

Проверенный пример

Water with ρ=1000 kg/m³ flows horizontally from area 4 cm² at 1 m/s into 1 cm². Continuity gives v₂=4 m/s and Q=0.0004 m³/s. Ideal Bernoulli predicts p₁−p₂=1000(16−1)/2=7500 Pa. In a separate laminar tube at fixed pressure drop, increasing radius from 1 mm to 2 mm multiplies Q by 16; this is not the same fixed-Q experiment.

Распространённая ошибка

Уравнение неразрывности сохраняет Q постоянным вдоль одной трубы; Пуазейль сравнивает Q между различными системами при заданном перепаде давления. Укажите, что удерживается постоянным, прежде чем сравнивать степени радиуса.

EM.4 · Поляризация, намагниченность и материальные поля

• Электрическая поляризация P — это электрический дипольный момент на единицу объема, измеряется в Кл/м². Определим D=ε₀E+P так, чтобы ∇·D=ρ_free; полный заряд, включая связанный заряд, по-прежнему появляется в ∇·E=ρ_total/ε₀. Связанный объемный заряд равен ρ_b=−∇·P, а связанный поверхностный заряд σ_b=P·n, где n направлен наружу из материала. Равномерная P, следовательно, не дает связанного заряда в объеме, но может создавать поверхностные заряды противоположного знака. Диэлектрик не является идеальным металлом: поляризация не обязательно делает внутреннее электрическое поле равным нулю.
• Для линейного изотропного диэлектрика P=ε₀χ_e E и D=εE, где ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Эти простые скалярные соотношения предполагают линейный отклик и игнорируют анизотропию, сильную дисперсию и нелинейные эффекты. В полностью заполненном крупном конденсаторе с плоскими пластинами, где краевыми эффектами можно пренебречь, нормальная составляющая D на пластинах равна плотности свободного поверхностного заряда. Если σ_free остается постоянным, увеличение ε уменьшает E=σ_free/ε. Связанные заряды противодействуют приложенному полю; их величина не обязательно равна свободному заряду пластин.
• Для площади пластин A и расстояния d, C=εA/d. Отключение источника питания фиксирует свободный заряд Q: напряжение V=Q/C уменьшается, а запасенная энергия U=Q²/(2C) уменьшается, когда диэлектрик увеличивает C. Оставление подключенного идеального источника напряжения фиксирует V: Q=CV и запасенная энергия U=CV²/2 возрастают. Источник поставляет энергию, и перемещение диэлектрика может сопровождаться механической работой; сравнивайте указанное количество электрической энергии, а не предполагая, что конденсатор представляет собой изолированную систему. На границе раздела материалов n·(D₂−D₁)=σ_free, тогда как статическое касательное поле E непрерывно. Нормальная компонента E обычно изменяется при изменении диэлектрической проницаемости.
• Намагниченность M — это магнитный дипольный момент на единицу объема, измеряется в А/м. В системе СИ B=μ₀(H+M); для линейного изотропного отклика M=χ_m H и B=μ₀(1+χ_m)H. B и H имеют разные единицы измерения и роли. Длинный однородный соленоид имеет H≈nI, когдаEffects торцов и размагничивания пренебрежимо малы; тогда отклик материала меняет B. Свободный поверхностный ток задает n×(H₂−H₁)=K_free, а нормальная компонента B остается непрерывной. Гистерезис ферромагнетиков и насыщение не могут быть представлены одной константой χ_m во всем диапазоне полей.

Проверенный пример

Рассмотрим полностью заполненный конденсатор с ε_r=4 и фиксированной плотностью свободного заряда на пластинах σ. Закон Гаусса для D дает D=σ, затем E=σ/(4ε₀) и P=ε₀(4−1)E=3σ/4. Емкость увеличивается в четыре раза, поэтому напряжение при фиксированном Q и запасенная энергия становятся четвертью. При подключенном источнике питания V и E=V/d остаются неизменными, в то время как Q и U увеличиваются в четыре раза. Отдельно, H=400 А/м и χ_m=0.5 дают M=200 А/м и B=μ₀(600 А/м)≈0.754 мТл.

Распространённая ошибка

Используйте свободный заряд в уравнении для D и полный заряд в уравнении для E. Не путайте фиксированный Q с фиксированным V и не приравнивайте численно B к H.

EM.5 · Переходные процессы RC и RL, импеданс и резонанс

• Для резистора R, соединенного последовательно с конденсатором C и источником постоянного тока V_s, закон Кирхгофа для напряжений имеет вид R dq/dt+q/C=V_s. Обозначим V_C=q/C и τ=RC. После переключения на источник постоянного напряжения V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). Изначально незаряженный конденсатор имеет V_C=V_s(1−exp(−t/τ)), а ток заряда I=(V_s/R)exp(−t/τ). При отключении источника и подключении резистора параллельно ему V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Напряжение на конденсаторе непрерывно при коммутации, если нет импульсного тока; ток резистора может измениться мгновенно.
• В последовательной RL-цепи закон Кирхгофа дает L dI/dt+RI=V_s и τ=L/R. Ток после приложения постоянного источника I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Ток через индуктор непрерывен при конечном напряжении; его напряжение может измениться скачком при коммутации, меняющей dI/dt. На больших временах идеальный индуктор в цепи постоянного тока ведет себя как проводник с нулевым напряжением, тогда как идеальный конденсатор пропускает постоянный ток. Запасенные энергии равны LI²/2 и CV_C²/2. При разряде на резистор первоначально накопленная энергия превращается в тепло резистора, а не исчезает при отключении источника.
• Используйте объявленную конвенцию для фазоров exp(iωt). Резистор имеет импеданс R, катушка индуктивности — iωL, а конденсатор — 1/(iωC)=−i/(ωC). Следовательно, последовательная цепь RLC имеет импеданс Z=R+iX, где X=ωL−1/(ωC). Разделив фазор напряжения источника на Z, получим ток. Его модуль равен V_rms/sqrt(R²+X²) при использовании действующих значений. Фаза импеданса φ удовлетворяет условию tanφ=X/R; ток отстает от напряжения при X>0 и опережает его при X<0. Сложение скалярных величин R, ωL и 1/(ωC) приводит к потере информации о фазовом векторе.
• Резонанс в последовательной цепи возникает при ω₀=1/sqrt(LC), когда X=0. Ток максимален при фиксированном напряжении в этой идеальной последовательной модели, а разность фаз напряжения/тока равна нулю. Средняя активная мощность V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; идеальные L и C обмениваются энергией, но не рассеивают среднюю мощность. Это отличается от переходной собственной частоты: затухающая последовательная цепь может колебаться при sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) при недозатухании. Большое сопротивление устраняет такие свободные колебания, но не меняет условие X=0 идеальной управляемой последовательной импеданса. Укажите, требует ли вопрос шагового отклика, свободного затухания или синусоидального установившегося состояния.

Проверенный пример

For R=2000 Ω, C=0.001 F, V_s=12 V and V_C(0)=0, τ=RC=2 s. At t=τ, V_C=12(1−e^(−1))=7.585 V and I=(12/2000)e^(−1)=2.207 mA. A separate RL circuit with L=0.4 H, R=2 Ω and V_s=10 V has τ=0.2 s and I(τ)=5(1−e^(−1))=3.161 A. For series R=10 Ω, L=0.1 H, C=0.001 F and V_rms=20 V, ω₀=100 rad/s; resonance gives I_rms=2 A and mean power 40 W.

Распространённая ошибка

В RC-цепи τ=RC, а в RL-цепи τ=L/R. Не путайте амплитуду тока с действующим (rms) током или резонанс вынужденного импеданса с частотой затухающих свободных колебаний.

WO.4 · Поляризация, цепи анализаторов и фаза

• При распространении вдоль z поперечное электрическое поле может иметь x- и y-компоненты. Линейная поляризация означает, что поле колеблется вдоль одной фиксированной линии; идеальный анализатор пропускает проекцию вдоль своей оси. Амплитуда поля становится E cosθ, поэтому интенсивность становится I cos²θ. Здесь θ — угол между входящей поляризацией и осью анализатора, а I — интенсивность непосредственно перед ним. Непоярзованнный пучок представляет собой статистическую смесь поперечных ориентаций; идеальный первый поляризатор пропускает половину его средней интенсивности. Исходящий пучок тогда линейно поляризован вдоль оси фильтра. Не применяйте новый множитель половины на каждом последующем фильтре или используйте один угол к исходному источнику для всей цепи.
• После каждого анализатора обновляйте как интенсивность, так и направление поляризации. Для первоначально неполяризованного луча и идеальных осей α₁, α₂, α₃, конечная интенсивность равна (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Два скрещенных фильтра передают ноль в этой модели; средний наклонный элемент меняет направление перед финальной проекцией. Это увеличение по сравнению со скрещенной парой не создает энергию: каждый шаг все еще имеет передачу между нулем и единицей. Реальные фильтры имеют поглощение, несовершенную_assets и зависимость от длины волны. Используйте идеальный закон только когда эти потери исключены или указаны отдельно.
• Записать E_x=A cosωt и E_y=B cos(ωt+δ) в фиксированной точке. Равные или противоположные фазы дают прямую, включая прямую под наклонным углом; равные ненулевые амплитуды и разность фаз в четверть цикла дают окружность. Неравные амплитуды при разности фаз в четверть цикла дают эллипс. Четвертьволновая пластина добавляет относительную фазу π/2 между своими главными осями при своих проектных условиях. Линейный вход под 45° обеспечивает равные компоненты, поэтому выходящее поле может быть круговым. Линейный вход вдоль главной оси имеет только одну компоненту и остается линейным. Для кругового входа каждый идеальный линейный анализатор пропускает половину интенсивности; определение направления вращения требует задания направления наблюдения и конвенции фаз.
• При падении света из прозрачной немагнитной среды n₁ в среду n₂ угол Брюстера, отсчитываемый от нормали, удовлетворяет условию tanθ_B=n₂/n₁. При этом угле отраженная p-компонента, чье электрическое поле лежит в плоскости падения, исчезает в идеальной диэлектрической модели. Отраженный свет от неполяризованного входа является s-поляризованным, перпендикулярным этой плоскости. Закон Снеллиуса дает угол преломления, дополняющий θ_B. Это отличается от условия критического угла sinθ_c=n₂/n₁, которое требует n₁>n₂ и касается полного внутреннего отражения. Отражение по закону Брюстера не означает, что вся падающая интенсивность отражается или что проходящий пучок полностью поляризован.

Проверенный пример

Unpolarised I₀=80 W/m² passes axes 0°, 45°, 90°. Intensities are 40, 20 and 10 W/m²; without the middle filter the crossed pair would give zero. Equal E_x=3 cosωt and E_y=3 sinωt trace a circle with E_x²+E_y²=9. From n₁=1 to n₂=1.5, θ_B=atan(1.5)=56.31° and refraction is 33.69°; the reflected beam is s polarised.

Распространённая ошибка

Интенсивность Малюса использует cos² угла к непосредственно предшествующей поляризации; фазовая пластинка изменяет относительную фазу, а поляризатор удаляет компонент поля.

WO.5 · Дифракционные огибающие и отсутствующие интерференционные максимумы

• Для щели с равномерной освещенностью шириной a, вклады в дальнем поле по всей ее ширине поступают с градиентом фазы k sinθ. Сложите их комплексные амплитуды перед возведением в квадрат: нормированный интеграл от x от −a/2 до a/2 равен sinβ/β, где β=πa sinθ/λ. Отношение интенсивностей равно (sinβ/β)². При θ=0 возьмите предел sinβ/β→1, вместо того чтобы называть центр неопределенным или темным. Нули возникают при a sinθ=mλ с ненулевым целым m. Центральный максимум находится между первыми нулями и в два раза шире одного интервала от нуля до нуля в sinθ. Максимумы боковых пиков не находятся точно посередине между своими нулями.
• При малых углах на удаленном экране на расстоянии L имеем y≈Lθ и sinθ≈θ, откуда первые нули y≈±Lλ/a. Таким образом, ширина центрального максимума составляет 2Lλ/a. Используйте метры последовательно: щель миллиметра и длина волны нанометра различаются на шесть порядков. Для больших углов используйте θ=asin(mλ/a) и y=L tanθ; выражение для малых углов тогда становится неточным. Условия дальнего поля требуют почти параллельных лучей от различных частей апертуры, например L значительно больше a²/λ, или эквивалентной фокальной плоскости. Близкополевые дифракционные картины Френеля нельзя однозначно описывать данным законом интенсивности.
• Для двух когерентных одинаковых равномерно освещённых щелей шириной a и межцентровым расстоянием d нормированная картина имеет вид (sinβ/β)² cos²α, где α=πd sinθ/λ, а нормировка выполнена по центральной интенсивности. Множитель cos² определяет интерференционные максимумы при d sinθ=nλ; множитель одиночной щели задаёт более широкую огибающую с нулями. Расстояние между соседними интерференционными максимумами в приближении малых углов равно λL/d. Увеличение d уменьшает расстояние между полосами; увеличение a сужает огибающую. Это независимые изменения. Формула для узкой щели с равной высотой не предсказывает убывание яркости или исчезновение порядков для конечных апертур. Некогерентные источники не сохраняют одно и то же фазозависимое перекрёстное слагаемое.
• Пропущенный порядок возникает, когда nλ/d=mλ/a одновременно, что дает n=m d/a. Если d/a является целым числом r, то порядки ±r, ±2r и так далее аннулируются нулями апертуры. Не считайте порядок на границе огибающей видимой яркой полосой. В центральной огибающей номинальные центры порядков интерференции удовлетворяют условию |n|<d/a; когда r — целое число, таких центров 2r−1. Для конечной ширины щели точные локальные максимумы слегка смещаются из-за изменяющейся огибающей, поэтому положения порядков интерференции являются приближением к наблюдаемым центрам пиков. Определите, какая величина запрашивается, прежде чем рассматривать каждый максимум cos² как точный максимум произведения.

Проверенный пример

При λ=500 нм, a=0.10 мм, d=0.50 мм и L=2 м, первые нули огибающей приблизительно равны ±10 мм, ширина центрального максимма составляет 20 мм, а расстояние между интерференционными полосами — 2 мм. Поскольку отношение d/a=5, номинальные порядки ±5 отсутствуют. Порядки от −4 до +4 дают девять интерференционных максимумов в пределах центральной огибающей. При sinθ=λ/(2a) величина β=π/2, поэтому интенсивность одиночной щели равна 4/π²=0.4053 от её центрального значения.

Распространённая ошибка

Складывайте амплитуды полей перед возведением в квадрат, различайте a и d, а также исключайте темные граничные порядки. Сам по себе интерференционный максимум не гарантирует максимума полной картины.

WO.6 · Знаковые изображения линз и зеркал

• Используйте правило знаков «реальное — положительное» для данного раздела: действительный объект испускает расходящиеся падающие лучи в элемент, поэтому s>0; уже сходящийся падающий пучок может представлять мнимый объект, s<0. A real image has s′>0, в то время как мнимое изображение имеет s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification M=−s′/s. A converging lens has f>0, а рассеивающая линза f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; отрицательное значение s′ помещает мнимое изображение на входную сторону. Укажите правило знаков перед подстановкой, поскольку другие правила знаков дают уравнения другого вида.
• Для тонкой собирающей линзы луч, параллельный оси, после преломления проходит через дальний фокус, а луч, проходящий через идеальную оптическую центр, продолжается без отклонения. Их пересечение указывает на действительное изображение; обратные продолжения могут найти мнимое изображение. Параксиальное приближение использует лучи, близкие к оси, и пренебрегает толщиной и аберрациями. При s>f>0 значение s′ положительно, а M отрицательно: изображение действительное и перевёрнутое. При 0<s<f значение s′ отрицательно, а M положительно: изображение мнимое, прямое и увеличенное. При s=f выходящие лучи параллельны, и конечная плоскость изображения отсутствует. Рассеивающая линза с действительным объектом создаёт прямое уменьшенное мнимое изображение.
• Для сферического зеркала в том же правиле знаков «реальное — положительное» фокусное расстояние concave f>0 и convex f<0, причём f=R/2 в параксиальном пределе. Действительное отражённое изображение находится перед зеркалом на стороне падающего света; мнимое изображение — за ним. Таким образом, положительное расстояние до изображения для зеркала означает другую физическую сторону, чем для пропускающей линзы. Параллельный луч отражается через фокус concave; луч, направленный через центр кривизны, идёт обратно по тому же пути. Выходящие лучи от convex зеркала расходятся так, будто исходят из фокуса за зеркалом. Используйте то же уравнение и M=−s′/s со знаковыми значениями, вместо того чтобы молча объединять геометрию зеркала с диаграммой координат линзы.
• Для последовательности разделённых линз сначала вычислите фактические координаты изображения от первой линзы. Относительно следующей линзы определите, расходятся ли Serif лучи из точки перед ней или всё ещё сходятся к точке за ней; это respectively действительный и мнимый объекты. Только затем присвойте ему знаковое расстояние до объекта и решите снова. Полное поперечное увеличение является произведением отдельных знаковых увеличений для выровненных параксиальных элементов. Разделение элементов не является автоматически вторым расстоянием до объекта. Геометрический характер реального/мнимого изображения зависит от сходимости, а не от того, увеличено ли конечное изображение. Эти идеальные результаты не моделируют волново-оптическое разрешение или сферические/хроматические аберрации.

Проверенный пример

Собирающая линза при x=0 имеет f=10 см, а действительный объект находится при x=−30 см. 1/s′=1/10−1/30=1/15, следовательно s′=15 см и M=−1/2. Вторая линза с f=10 см расположена при x=40 см и принимает лучи, расходящиеся от x=15: s₂=25 см, s₂′=50/3 см и конечная координата x=170/3 см≈56.67 см. M₂=−2/3, поэтому полное увеличение M=+1/3. Отдельно выпуклое зеркало с f=−12 см и s=24 см даёт s′=−8 см и M=+1/3, что соответствует прямому мнимому изображению за зеркалом.

Распространённая ошибка

Сохраняйте знаки до тех пор, пока не будет интерпретирована геометрия; положительное зеркальное изображение лежит на стороне падающих лучей, тогда как положительное изображение пропускной линзы lies на стороне исходящих лучей.

TS.3 · Тепловой перенос, калориметрия и расширение

• Для одномерного установившегося теплопроводения через однородную плиту закон Фурье даёт тепловой поток q_x=−κ dT/dx. При постоянной теплопроводности κ, площади A, длине L и разнице температур ΔT от горячего к холодному тепловая мощность равна Qdot=κAΔT/L. Определяйте термическое сопротивление R_th=L/(κA), измеряемое в K/W; падение температуры равно Qdot R_th. Слои в серии без внутренних источников пропускают одинаковый Qdot, их сопротивления складываются. Параллельные пути с одними и теми же температурами на концах имеют мощности, которые складываются, поэтому обратные сопротивления складываются. Тепловой поток — это мощность на единицу площади, W/m², и он не должен совпадать между слоями разной площади. Контактное сопротивление интерфейса и утечки тепла должны быть включены, если они указаны.
• Теплоёмкость C=dQ/dT зависит от термодинамического пути и не является той же величиной, что и удельная теплоёмкость c на массу. Для интервала материала без фазового перехода Q=∫mc(T)dT, или mcΔT, если c постоянно. В изолированном калориметре сложите изменения энергии всех объектов, включая контейнер, если это уместно, и приравняйте сумму к нулю. При фазовом переходе при равновесной температуре добавленная энергия может изменить долю фазы, а не температуру: Q=mℓ используется скрытая теплота ℓ в Дж/кг. Сначала подайте mulher heat для достижения перехода, затем учитывайте скрытую теплоту. Не позволяйте простому взвешенному среднему температур предсказать невозможную температуру, если плавление или замерзание входит в процесс.
• Для свободно расширяющегося стержня и малого изменения температуры ΔL ≈ αL₀ΔT с линейным коэффициентом теплового расширения α. Для изотропного твердого тела при малых деформациях каждый размер умножается на множитель 1+αΔT, поэтому ΔA/A ≈ 2αΔT и ΔV/V ≈ 3αΔT. Отверстие расширяется вместе с окружающим материалом так, как если бы отсутствующая область тоже расширилась. Эти соотношения предполагают почти постоянный коэффициент и отсутствие механических ограничений; анизотропные кристаллы требуют направленных коэффициентов. Если упругий стержень не может изменить длину, его механическая деформация компенсирует тепловую деформацию. При положительном напряжении растяжения σ ≈ −YαΔT при нагревании, где Y — модуль Юнга. Оценка при малых деформациях требует упругой реакции без текучести или потери устойчивости.
• Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Проверенный пример

Two slabs of area 0.5 m² have L₁=0.02 m, κ₁=0.5 W/(m·K), L₂=0.03 m and κ₂=0.25 W/(m·K). R₁=0.08 and R₂=0.24 K/W; for boundaries 60°C and 20°C, Qdot=40/0.32=125 W. Drops are 10 K and 30 K, so the interface is 50°C and flux 250 W/m². Separately equal specific heats with masses 2 kg at 80°C and 1 kg at 20°C give isolated final 60°C without phase change. A free 2 m rod with α=10^−5 K^−1 heated 50 K lengthens 1 mm; if constrained and Y=100 GPa, σ=−50 MPa within the elastic model.

Распространённая ошибка

Сохраняйте Вт отдельно от Вт/м², включайте калориметр или скрытую энергию при необходимости и не используйте длину свободного расширения совместно с предположениями о ограниченном напряжении.

TS.4 · Производные парциальные, флуктуации энергии и теплоемкость

• Для системы, обменивающейся энергией с термостатом при T при фиксированных N и V, положите β = ⟨1⟩/(kBT). Сумма Z = Σ_i g_i exp(−βE_i) берется по уровням энергии с их вырождениями. Вероятность уровня равна g_i exp(−βE_i)/Z; средняя энергия U — это сумма энергий, взвешенная вероятностями. Дифференцирование спектра, не зависящего от температуры, дает U = −∂lnZ/∂β. Сохраняйте разрыв в энергии и вырождения неизменными во время дифференцирования. Запись Δ = kBT ln3 для описания одной точки оценки не должна читаться как изменение Δ с T. Для N независимых различимых одинаковых двухуровневых подсистем Z_total = z^N и U_total = N u. Неразличимые частицы и взаимодействия требуют собственного подсчета состояний, а не предположения произведения.
• Свободная энергия Гельмгольца F = −kBT lnZ. Каноническая энтропия следует из S = kB(lnZ + βU), эквивалентно −kBΣ p_j ln p_j по отдельным микроостояниям. Теплоемкость при постоянном объеме C_V = (∂U/∂T)_V,N. Эти величины имеют разные единицы измерения и описывают разные производные. Добавление постоянной энергетической смещения ε ко всем состояниям умножает Z на exp(−βε), увеличивает U и F на ε и не меняет вероятности, энтропию и теплоемкость, когда ε не зависит от T. Поэтому отрицательное выбранное среднее значение энергии не является доказательством отрицательной теплоемкости. Используйте один и тот же энергетический ноль в вероятностях и термодинамических выражениях.
• Вторая производная по β от lnZ дает дисперсию Var(E) = ⟨E²⟩ − U². Для той же канонической модели с фиксированным спектром C_V = Var(E)/(kBT²), так что C_V/kB = β²Var(E). Неотрицательная дисперсия означает неотрицательную C_V в этих условиях. Знаменатель включает kB, а не kB², когда теплоемкость сохраняет свои обычные единицы Дж/К. Эта формула флуктуаций относится к распределению энергии канонического ансамбля; она не говорит, что каждая частица имеет точно среднюю энергию. Для независимых подсистем дисперсии складываются, как и средние. Относительные флуктуации энергии обычно уменьшаются как 1/√N, когда среднее и дисперсия на подсистему остаются конечными и ненулевыми.
• Для одного основного состояния при E=0 и одного возбужденного состояния при фиксированном E=Δ>0, положите x=Δ/(kBT). Тогда z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc и C/kB=x²e^x/(1+e^x)². При низких температурах возбуждение и теплоемкость исчезают экспоненциально. При высоких температурах p_exc стремится к половине, энергия насыщается, поэтому теплоемкость снова стремится к нулю. Энтропия возрастает от нуля для единственного основного состояния toward kB ln2, когда два состояния становятся равновероятными. Возникающий пик теплоемкости при конечной температуре специфичен для модели конечного уровня; это не постоянное значение классического осциллятора. Вырождение основного состояния или дополнительные уровни изменили бы предельную энтропию и температурный отклик.

Проверенный пример

For levels 0 and fixed Δ at a temperature where x=ln3, z=1+1/3=4/3 and p_exc=1/4. Thus u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 and Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. Raising the reference by ε changes u to ε+Δ/4 but preserves the variance and heat capacity.

Распространённая ошибка

Держите Δ фиксированным при дифференцировании, включайте вырождения в Z и используйте дисперсию энергии, а не квадрат среднего значения энергии, в формуле теплоемкости.

TS.5 · Квантовые заселения и пределы теоремы о равнораспределении

• Для невзаимодействующих частиц в равновесии теплового и обменного обмена используйте химический потенциал μ и x = (ε − μ)/(kBT). Средняя заселенность одного полного состояния n_F = ⟨1⟩/(e^x + ⟨1⟩) для фермионов и n_B = ⟨1⟩/(e^x − ⟨1⟩) для бозонов. Фермионная заселенность этого состояния равна нулю или единице; ее среднее лежит между ними. Бозонная заселенка может превышать единицу. Уровень с вырождением g имеет полную среднюю заселенку, равную g, умноженной на заселенность одного состояния, когда его состояния имеют ту же энергию. Учитывайте спин как часть полного состояния. Знаменатель Бозе требует ε > μ для обычного конечного выражения, предел основного состояния рассматривается отдельно. Для равновесных фотонов μ = ⟨0⟩, потому что число фотонов не сохраняется; не устанавливайте μ = ⟨0⟩ для каждого газа материальных частиц.
• Подсчитывайте паттерны заселения, а не маркируйте идентичные частицы. Два идентичных фермиона, распределенных среди четырех различных полных состояний, имеют choose(4,2) = 6 допустимых паттернов. Два идентичных бозона среди тех же состояний имеют choose(4 + ⟨2⟩ − ⟨1,2⟩) = 10 паттернов, потому что оба могут разделить одно состояние. Два помеченных различимых частицы имели бы 4² = 16 назначений. Это различные модели подсчета, а не три взаимозаменяемых ответа на одну и ту же постановку задачи. Если в вопросе указано спиновое вырождение, сначала решите, считает ли указанное число полные состояния или только орбитальные уровни. Запрет Паули на два идентичных полных состояния не запрещает фермионы с противоположными спинами в одном пространственном орбитале.
• Когда x велико и положительно, заселение мало, и оба знаменателя определяются членом e^x: n_F ≈ n_B ≈ e^(−x), что соответствует предельному случаю разбавленной статистики Максвелла–Больцмана. При x = ln4 средние значения равны 1/5 для фермионов, 1/3 для бозонов и 1/4 в классическом приближении; разница всё ещё существенна. Одна лишь большая полная частица не оправдывает применение классической статистики: заселение контролируется плотностью, температурой и доступными состояниями. Для фермионов при низких температурах состояния ниже μ заполняются почти полностью, а состояния выше — почти пустуют. При ε = μ среднее заселение фермионного состояния равно одной половине; подстановка этого значения в обычную формулу Бозе-Эйнштейна привела бы к дивергирующему знаменателю и требует особого подхода в пределе.
• Классическое правило о равенстве долей приписывает kBT/2 средней энергии каждому независимому квадратичному члену в гамильтониане, находящемся в термодинамическом равновесии. Одноатомный идеальный газ имеет три поступательных члена, что даёт U = 3NkBT/2 и C_V = 3NkB/2. Один классический одномерный гармонический осциллятор имеет кинетические и потенциальные члены, что даёт среднюю энергию kBT и теплоёмкость C = kB. Для квантового осциллятора с фиксированным шагом ε = ℏω тепловая энергия над его не зависящей от температуры нулевой точкой составляет ε/(e^x − 1), где теперь x = ε/(kBT), а C/kB = x²e^x/(e^x − 1)². При высоких температурах он приближается к классическому значению; при низких температурах возбуждение «замораживается» и C → 0. Энергия нулевой точки ε/2 сдвигает U, но не C. Аналогично, молекулярные вклады в вращательную и колебательную энергии требуют проверки их энергетических масштабов перед присвоением им классических квадратичных членов.

Проверенный пример

При x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, одно состояние имеет n_F=0.2 или n_B=1/3. Пятиуровневый вырожденный уровень поэтому имеет среднее 1 фермионов или 5/3 бозонов; общая заселенность фермионного уровня может превышать единицу при других значениях x, так как существует пять различных состояний. Квантовый осциллятор при ε/(kBT)=ln2 имеет среднюю энергию возбуждения ε и C/kB=2(ln2)²=0.960906, близко к, но отличную от классического значения единица.

Распространённая ошибка

Исключайте двух фермионов из одного полного состояния, а не из всего вырожденного энергетического уровня. Указывайте, какое значение x используется; заселения химического потенциала и формулы фиксированного возбуждения осциллятора — это разные модели.

QM.2 · Слабые возмущения и вырожденные подпространства

• Пусть H = H₀ + λW, где λ — малый безразмерный параметр, а собственные состояния H₀ известны и нормированы. Для невырожденного уровня n поправка к энергии первого порядка равна λ⟨n|W|n⟩. В координатном представлении это λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx для мультипликативного потенциала, с интегрированием по разрешенной области. Значение потенциала в одной точке не является средним значением; плотность вероятности состояния взвешивает всю область. Для бесконечной ямы 0 < x < L, ψ_n = √(2/L)sin(nπx/L). Отражение относительно центра дает ⟨x⟩ = L/2, поэтому слабое добавленное потенциал γx дает сдвиг γL/2 для каждого невырожденного уровня ямы первого порядка. γ имеет размерность энергии на длину.
• Для возмущения, нечетного относительно центра, такого как γ(x − L/2), плотность вероятности собственных состояний невозмущенной ямы четна, поэтому её диагональное среднее значение обращается в ноль. Вместо этого центрированное квадратичное возмущение η(x − L/2)² дает сдвиг ηL²[1/12 − 1/(2π²n²)], который положителен при η > 0 и зависит от n. Нечетность делает первый порядок интеграла равным нулю только для указанного состояния и симметрии оператора. Недиагональные матричные элементы все еще могут изменять волновую функцию. Не превращайте симметричную компенсацию в утверждение о том, что каждая поправка к энергии исчезает или что исходное состояние остается точным.
• Для невырожденного состояния ведущее примесь другого невозмущенного состояния m пропорциональна λW_mn/(E_n⁰ − E_m⁰). Поэтому полезное условие малости сравнивает матричные элементы связи с соответствующими расщеплениями уровней, а не просто с произвольным абсолютным нулем энергии. Во втором порядке поправка к энергии содержит Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰ − E_m⁰). Для самого нижнего невырожденного состояния все эти знаменатели отрицательны, поэтому поправка второго порядка в этой модели неположительна. Вблизи вырождения малый знаменатель нарушает разложение по невырожденным состояниям; вместо деления на ноль используйте связанное подпространство.
• Если уровень H₀ точно вырожден, выберите ортонормированный базис внутри этого подпространства и составьте эрмитову матрицу возмущения там. Его собственные значения являются поправками к энергии первого порядка, а собственные векторы определяют комбинации, которые диагонализируют ведущее расщепление. Для двумерного подпространства с возмущением ε[[2,1],[1,2]], нормированные симметричная и антисимметричная комбинации имеют сдвиги 3ε и ε. Чтение только двух диагональных элементов ошибочно предскажет два сдвига 2ε. Общий скалярный множитель единичной матрицы сдвигает оба состояния одинаково и не расщепляет их вырождение; связи вне подпространства могут быть важны более высокого порядка.

Проверенный пример

В 2 nm бесконечной яме слабое возмущение γx с γ=0.05 эВ/нм дает ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 эВ. Отдельно, η=0.03 эВ/нм², умножающее (x−L/2)², дает сдвиг основного состояния 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 эВ. Это результаты первого порядка, условные на слабую связь относительно разрывов. Вырожденная пара с ε[[2,1],[1,2]] и ε=0.004 эВ расщепляется на сдвиги 0.004 и 0.012 эВ; симметричное состояние получает больший сдвиг.

Распространённая ошибка

Используйте нормированные веса состояний, сохраняйте размерность возмущения и диагонализируйте вырожденный блок. Компенсация первого порядка и точная инвариантность — это разные утверждения.

QM.3 · Обменная симметрия, спиновые пары и принцип Паули

• Для тождественных частиц обмен всех координат и спиновых меток меняет знак полной волновой функции фермиона и оставляет волновую функцию бозона неизменной. Математические слоты 1 и 2 обозначают аргументы, а не постоянно различимые частицы. Для двух различных ортонормированных орбиталей a и b пространственные комбинации Ψ_± = [a(1)b(2) ± b(1)a(2)]/√2. Ортогональность делает эти комбинации нормированными и дает собственные значения обмена ±1. Если две орбитали тождественны, антисимметричная комбинация тождественно равна нулю, а показанная симметричная формула неправильно нормирована; пространственное состояние двойного заполнения — это просто a(1)a(2). Проверяйте нормировку каждый раз, когда изменяются орбитали или их перекрывания.
• Две частицы со спином 1/2 образуют один спиновой синглет (↑↓ − ↓↑)/√2 с полным спином S = 0; он антисимметричен относительно обмена. Триплеты ↑↑, (↑↓ + ↓↑)/√2 и ↓↓ имеют S = 1 и симметричны. Электроны требуют антисимметричного полного состояния, поэтому симметричное пространственное состояние сочетается с синглетом, а антисимметричное пространственное состояние — с триплетом. Два электрона в одном и том же пространственном орбитале могут образовать синглет, но не могут образовать триплет там в этом простом двухэлектронном состоянии. Принцип Паули предотвращает заселение одного и того же полного одночастичного состояния, включая спин. Электроны с противоположными спинами в одном орбитале — это два разных полных состояния; описание исключения как «один электрон на орбиталь» отбрасывает это различие.
• Для двух пространственных орбиталей a, b и двух спиновых состояний каждого существует четыре полных одночастичных состояния. Два идентичных электрона имеют choose(4,2)=6 паттернов заполнения: два синглета с двойным заполнением, один синглет на разных орбиталях и три триплета на разных орбиталях. Для трех пространственных орбиталей существует шесть полных состояний и choose(6,2)=15 паттернов. Подсчет упорядоченных назначений приводит к переопределению идентичных частиц. У спин-нулевых бозонов в двух орбиталях вместо этого три occupation: оба в a, по одному в каждой, оба в b. Эти подсчеты предполагают отсутствие дополнительных энергетических ограничений и указанные доступные одночастичные состояния; ограничение полной энергии или проекции спина изменяет допустимое подмножество.
• Антисимметричное пространственное состояние удовлетворяет условию Ψ_−(x,x)=0, поэтому его совместная плотность положения обращается в ноль на линии совпадения. Симметричное пространственное состояние не обязательно обращается в ноль там. Разница возникает из-за интерференции амплитуд при обмене, даже для невзаимодействующих частиц; это не отдельно налагаемая классическая отталкивающая сила. Для ямы длиной L выберите a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). При x₁=L/4 и x₂=3L/4 антисимметричная пространственная амплитуда равна −2/L, а её плотность составляет 4/L²; симметричная амплитуда равна нулю. Это совместные плотности вероятности на две длины, а не безразмерные вероятности в точках. Физическая совместимость спина всё равно определяет, какое полное электронное состояние использует каждую пространственную комбинацию.

Проверенный пример

При двух ортонормированных орбиталях a,b состояние двух электронов Ψ_+χ_singlet в целом антисимметрично, поскольку (+1)(−1)=−1. Состояние Ψ_−χ_triplet также допустимо. Если оба электрона используют a, то пространственное произведение a(1)a(2) симметрично, поэтому допустим только спин-синглетный множитель. В яме на позициях L/4 и 3L/4, Ψ_−=−2/L дает плотность 4/L², тогда как Ψ_+=0; каждое нормировано по всей области двух координат, а не интерпретируется как вероятность для одной точной пары.

Распространённая ошибка

Обменяйте все пространственные и спиновые аргументы. Не путайте антисимметричное пространство с антисимметричным полным состоянием и не используйте фактор √2 для различных орбиталей при наличии двух идентичных орбиталей.

Квантовая механика.4 · Связанные состояния конечной ямы и водородоподобные квантовые числа

• Объявите симметричную яму V=−V₀ для |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 и ту же массу повсюду. Связанная энергия находится между −V₀ и нулем. Внутри k=√[2m(E+V₀)]/ℏ дает осциллирующие решения; снаружи κ=√(−2mE)/ℏ дает затухающие хвосты. Отбросьте растущие экспоненты, чтобы получить нормируемое состояние. Отражательная симметрия допускает четные cos(kx) или нечетные sin(kx) состояния внутри. На конечных границах без дельта-взаимодействия как ψ, так и ψ′ непрерывны. Четное согласование дает k tan(ka)=κ; нечетное согласование дает −k cot(ka)=κ. Конечная яма не требует, чтобы ψ обращался в ноль на своих краях, как бесконечная стенка.
• Введите z=ka и ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Тогда κa=√(ρ²−z²) и 0<z<ρ. Решите z tan z=√(ρ²−z²) для четного состояния или −z cot z=√(ρ²−z²) для нечетного, на интервалах с соответствующим знаком и вдали от полюсов тангенса. Энергия следует как E/V₀=z²/ρ²−1. Для ρ=1, корень основного состояния лежит в 0<z<1, и четное уравнение там эквивалентно z=cos z. Метод половинного деления или сходимость поисковика корней дает z≈0.739085 и E/V₀≈−0.453753. Поскольку ρ<π/2, ветвь связанных состояний для нечетных функций не помещается. В одном измерении притягивающий прямоугольный потенциал яма имеет четное связанное основное состояние, какой бы мелкой оно ни было; хвост порога E=0 не является квадратируемым.
• Для четного связанного состояния запишите ψ=A cos(kx) внутри и ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] снаружи. Непрерывность устанавливает относительную амплитуду хвоста; проинтегрируйте |ψ|² как внутри, так и в хвостах, чтобы определить A. Вероятность вне ямы nonzero и зависит от ее глубины, ширины и выбранного состояния. Связанные состояния имеют дискретные энергии и нормируемые затухающие асимптоты. Рассеивающее состояние с E>0 имеет распространяющиеся внешние волны и нормируется или интерпретируется с использованием конвенции континуума/потока. Затухающий хвост не является доказательством того, что состояние нарушает закон сохранения энергии, а сырая амплитуда хвоста не является внешней вероятностью, пока она не будет проинтегрирована и нормирована.
• Для одноэлектронного кулоновского иона с зарядом ядра Ze используйте нерелятивистскую модель центрального потенциала и приближение тяжелого ядра, если не указан приведенный массив. E_n≈−13.6 Z²/n² эВ; разрешенные орбитальные числа n≥1, l=0,…,n−1 и m_l=−l,…,l. L² имеет собственное значение l(l+1)ℏ² и L_z=m_lℏ; основное 1s-орбитальное состояние имеет l=0, несмотря на историческое правило круговых орбит Бора. Пространственная вырожденность при фиксированном n равна Σ_l(2l+1)=n² до учета спиновой и тонкой структуры. Если ψ=R_nl(r)Y_lm, а угловая часть нормирована, радиальная вероятность в dr равна r²|R|²dr, а не просто |R|²dr. Для водородного 1s радиальная плотность равна 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: она достигает максимума при r=a₀ и имеет среднее значение 3a₀/2, тогда как трехмерная точечная плотность максимальна в начале координат. Различайте эти меры перед определением наиболее вероятного радиуса.

Проверенный пример

Для ρ=1, z≈0.739085 даёт κa≈0.673612 и E≈−0.453753V₀; чётное основное состояние «просачивается» за пределы ±a, но затухает на бесконечности. Для одноэлектронного иона Z=2 при n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 эВ. Разрешённые значения l равны 0 и 1, что даёт четыре пространственных состояния до учёта спина. В водородном 1s орбитале радиальная плотность достигает максимума при a₀, поскольку фактор оболочек r² компенсирует убывание точечной плотности; интегрирование радиальной плотности даёт ⟨r⟩=3a₀/2.

Распространённая ошибка

Используйте объявленный нулевой потенциал, подгоните также ψ′, а не только ψ, и включите меру радиальной оболочки. Связанный хвост и бегущая волна континуума находятся в разных энергетических режимах.

AT.2 · Сдвиги атомных полей и спектральные различия

• Электрон обладает отрицательным магнитным моментом: μ_L=−μ_B L/ℏ и μ_S≈−2μ_B S/ℏ. При B, направленном вдоль положительной оси z, взаимодействие −μ·B дает H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/ℏ. μ_B≈5.788×10⁻⁵ эВ/Тл. В несвязанном базисе с орбитальным проекционным числом m_l и спиновым проекционным числом m_s=±1/2, сдвиг равен μ_B B(m_l+2m_s). Используйте это правило для несвязанного базиса, когда магнитное взаимодействие велико по сравнению со соответствующим спин-орбитальным расщеплением, но все еще мало по сравнению с орбитальными энергетическими щелями, так что квадратичные диамагнитные и эффекты перестройки орбиталей можно пренебречь. «Большое» и «малое» — это сравнения энергий, а не универсальные пороговые значения тесла. В противоположном режиме слабого поля m_l и m_s не являются независимыми сохраняющимися метками для состояния LS-связи.
• Когда доминирует LS-связь при слабом магнитном возмущении, J=L+S, а m_J обозначает мультиплет. Сдвиг первого порядка равен μ_B B g_J m_J, где g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] в приближении g_s=2. Здесь L, S, J — безразмерные квантовые числа. Для L=1, S=1/2, J=3/2 дает g_J=4/3 и сдвиги −2, −2/3, +2/3, +2 times μ_B B. J=1/2 дает g_J=2/3 и сдвиги ±μ_B B/3. Не подставляйте J=0 в сингулярную формулу; состояние J=0 не имеет сдвига векторной проекции первого порядка. Промежуточные поля требуют связанного гамильтониана, а не смешения формул слабого поля и несвязанного базиса.
• Энергия фотона равна верхней атомной энергии минус нижняя энергия. Его поле-индуцированное изменение равно ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Подсчитайте разрешенные переходы, используя указанные правила отбора, а также две модели уровней. Несколько переходов могут иметь одну частоту; количество расщепленных состояний не является автоматически количеством спектральных линий. В орбитальной модели без учета спина верхний триплет L=1 имеет сдвиги m_l μ_B B с m_l=−1,0, +1, а нижнее состояние L=0 имеет нулевой сдвиг. Электрический дипольный переход Δm_l=0, ±1 допускает три фотонных сдвига −μ_B B, 0, +μ_B B. Эта модель нормального триплета не описывает каждый реальный атом или мультиплет тонкой структуры. Поляризация и направление наблюдения могут изменить то, какие компоненты регистрируются.
• В однородном электрическом поле F вдоль z возмущение электрона равно +eFz для указанной конвенции электростатического потенциала. Невырожденное собственное состояние четности имеет ⟨z⟩=0, поэтому его первый порядок диагонального Stark-сдвига равен нулю, хотя квадратичный сдвиг может сохраниться. Точно вырожденные состояния с противоположной четностью вместо этого позволяют внедиагональный дипольный матричный элемент. В исходной двухсостоятельной модели предположим, что дипольная матрица имеет вид [[0,d],[d,0]], где d — вещественное число в единицах заряд×длина. Возмущение F умноженное на эту матрицу имеет собственные значения ±dF и противоположные суперпозиции двух состояний. Изменение фазы базиса меняет знак внедиагональных элементов, но не величину расщепления 2|dF|. Реальные почти вырожденные атомы требуют сравнения со тонкой структурой и другими малыми расщеплениями перед принятием приближения точной вырожденности; эта предоставленная матрица не является универсальным коэффициентом для водорода.

Проверенный пример

With μ_B=5.788×10⁻⁵ eV/T, B=2 T and weak-field LS-coupled labels L=1,S=1/2,J=3/2,m_J=1/2, the shift is (4/3)(1/2)μ_B B=7.7173×10⁻⁵ eV. In a different, uncoupled regime, m_l=1,m_s=−1/2 instead gives zero linear shift. A normal orbital L=1→0 triplet at 2 T has photon shifts −1.1576×10⁻⁴,0,+1.1576×10⁻⁴ eV. Separately, a degenerate dipole pair with d=2 e·nm and F=10⁵ V/m has shifts ±0.0002 eV, a 0.0004 eV splitting.

Распространённая ошибка

Объявите режим связи, сохраните знак отрицательного электронного момента и вычтите сдвиги нижних уровней. Нулевое диагональное значение дипольного момента не исключает вырожденного смешивания или квадратичных сдвигов.

AT.3 · Тепловые спектры и масштабирование одного электрона

• Для излучения идеального теплового равновесия спектральная плотность излучения Планка по длине волны равна B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ относится к интервалу длин волн и к единичному телесному углу, а не к полной мощности. Спектр полушарового поверхностного потока черного тела M_λ=πB_λ; интегрирование по всем длинам волн дает σ_SB T⁴. Все температуры абсолютны (Кельвины). Пик длины волны подчиняется λ_max T≈2.898×10⁻³ м·К. Спектр по частоте имеет другой пик, поскольку B_ν dν и B_λ dλ включают якобиан; c/λ_max не является пиковой частотой B_ν. Увеличение T смещает пик длины волны в коротковолновую область и увеличивает интегральный поток пропорционально T⁴, а не только за счет отношения положений пиков.
• Для исходной однородной серой поверхности площадью A и эмиссионоспособностью ε, не зависящей от длины волны, чистая излучаемая мощность в большую однородную среду равна εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) при указанных предположениях о факторе обзора. Используйте σ_SB≈5.670×10⁻⁸ Вт·м⁻²·К⁻⁴. Спектрально изменяющаяся эмиссионоспособность или неполное окружение требуют более детальной модели. Фотон на определенной длине волны имеет энергию E=hc/λ, удобно около 1240 эВ·нм/λ_нм. Тепловой спектр содержит множество энергий фотонов; фотон на пике длины волны не является средней энергией каждого фотона. Для T=3000 К, λ_max≈966 нм; его энергия фотона составляет примерно 1.284 эВ. Поверхность с A=2×10⁻⁴ м² и ε=0.5 излучает 459.27 Вт в пренебрежимо холодную среду.
• В исторической модели Бора для одного электрона с тяжелым ядром заряда Ze, кулоновская сила m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) и момент импульса m_e vr=nℏ приводят к r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n и E_n≈−13.6Z²/n² эВ. Радиус масштабируется как n²/Z, а энергия связи масштабируется как Z²/n²; не используйте одинаковую степень заряда в обоих случаях. Эти предположения о круговых орбитах являются исторической моделью масштабирования. Волновая механическая орбитальная компонента момента импульса равна √[l(l+1)]ℏ с l=0,…,n−1, поэтому орбиталь 1s имеет нулевой орбитальный момент импульса, а не значение nℏ Бора. Поправки на приведенную массу заменяют m_e на μ: кулоновский радиус масштабируется как 1/μ, а энергия как μ. Многоэлектронное экранирование, релятивистские поправки для больших Z и тонкая структура находятся за пределами простой модели.
• Для перехода излучения ni→nf при ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) эВ. Преобразуйте эту положительную разность в λ≈1240/E_γ нм. Ионизация с уровня n требует энергии 13.6Z²/n² эВ для выхода в континуум (ноль). Поглощение меняет порядок уровней и требует соответствующей положительной энергии входящего фотона. Для серии, заканчивающейся на фиксированном nf, наибольшая энергия фотона при переходе между связанными состояниями достигается при ni→∞, что дает E_limit=13.6Z²/nf² и минимальную длину волны серии. Для одноэлектронного гелия Z=2, переход n=3→2 дает 7.5556 эВ и λ≈164.12 нм. Его радиус Бора n=3 равен 4.5a₀; этот радиус описывает историческую орбиту, а не универсальный радиальный режим для каждого l при n=3.

Проверенный пример

Чернотельное тело при 3000 К имеет пик длины волны 966 нм и энергию фотона на пике длины волны 1240/966≈1.284 эВ. При ε=0.5, A=2×10⁻⁴ м², T_env=300 К чистая мощность серой поверхности составляет 459.224073 Вт; приближение для холодной среды дает 459.27 Вт. Отдельно, одноэлектронный ион с Z=2 испускает переход n=3→2: 13.6·4(1/4−1/9)=7.5556 эВ, λ≈164.12 нм. Его порог связи n=3 составляет 54.4/9≈6.0444 эВ, что меньше энергии этого фотона, так как этот фотон заканчивается на более низком уровне n=2.

Распространённая ошибка

Объявите плотность длины волны или частоты, используйте Кельвин для степеней четвертой степени и различайте переходы и ионизацию. Радиус Бора и момент импульса не являются радиусом и L каждой волновой орбитали.

RA.2 · Одновременность, измерение длины и преобразование скорости

• Используйте преобразование Лоренца с заданной скоростью движения системы: если система S′ движется со скоростью +v вдоль оси x относительно S, то x′=γ(x−vt) и t′=γ(t−vx/c²), где γ=1/sqrt(1−v²/c²). Применяйте его к разностям координат Δx и Δt, а не только к отдельным координатам. Два события, одновременные в системе S (Δt=0), но происходящие в разных точках, имеют Δt′=−γvΔx/c²: событие, расположенное дальше по направлению +x, происходит раньше в системе S′. Одновременность зависит от системы отсчёта и не является ошибкой учёта.
• A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.
• The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.
• Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Проверенный пример

События A и B находятся на расстоянии 900 м в лабораторной системе и разделены по времени на 2 мкс (cΔt=600 м при c=3×10⁸ м/с). Поскольку 600<900, интервал пространственный; система одновременности движется со скоростью v=c²Δt/Δx=(2/3)c, а собственное расстояние равно sqrt(900²−600²)=670.82 м. Сигнал со скоростью 0.5c, испущенный из корабля со скоростью 0.5c, имеет в лабораторной системе скорость (0.5+0.5)c/(1+0.25)=0.8c, где γ=5/3. Энергия E=5 ГэВ при импульсе p=3 ГэВ/c даёт энергию покоя sqrt(25−9)=4 ГэВ.

Распространённая ошибка

Цитирование L=L0/γ без условия одновременного измерения концов или сложение скоростей по формуле u=u′+v при релятивистских скоростях. Разница во времени одновременности является физической величиной, а не ошибкой.

LM.2 · Нагрузка измерительной цепи, усиление усилителя и отклик детектора

• Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.
• An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is 1/√2 (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.
• Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.
• Линейная калибровка по известным стандартам позволяет исправить смещение и масштабную ошибку, но не устраняет шум и не гарантирует коррекции нелинейности. Калибровочная кривая отображает показания в истинные значения; интерполяция между точками предполагает локальную гладкость. Разрешающую способность и эффективность следует сообщать отдельно: острые пики при плохой эффективности всё равно пропускают события, а высокая эффективность при широком разрешении смешивает близкие линии.

Проверенный пример

A 12 V source with 200 kΩ internal resistance read by a 1 MΩ meter shows 12×(1/1.2)=10.0 V. An RC filter with f_c=1 kHz driven at 2 kHz passes amplitude 1/√5≈0.447. A counter with τ=10 μs at true rate 10⁴ /s records 9091 /s; a recorded 8000 /s with τ=20 μs implies n=8000/(1−0.16)≈9524 /s.

Распространённая ошибка

Treating the 1/√2 cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

LM.3 · Затухание излучения, усиление лазера и моды резонатора

• Heavy charged particles lose energy continuously through many small collisions, so they have an approximate range: under a constant-loss model a particle with initial energy E0 and loss rate dE/dx stops after E0/(dE/dx). Electrons straggle more and radiate. Photons instead interact in single events, so a narrow beam attenuates exponentially as I=I0 e^(−μx) with no definite maximum depth; the half-value layer is ln2/μ.
• Apply the exponential only to the stated narrow-beam geometry: μ=0.2 /cm gives a half-value layer of 3.47 cm and I/I0=e^(−2)≈0.135 after 10 cm. Multiply by detector efficiency for recorded counts: with μx=ln4 and ε=0.25 the recorded fraction is 0.25×1/4=1/16. Build-up from scattered photons makes broad-beam shielding transmit more than the narrow-beam exponential; state the geometry.
• Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.
• A linear cavity of length L supports standing modes with L=mλ/2, i.e. frequencies ν_m=mc/(2L) with spacing c/(2L): for L=30 cm the spacing is 500 MHz. Gain must exceed the round-trip losses for oscillation. Interferometers such as Michelson use the same coherence: fringe counts track optical path changes, as in the gas-cell measurement.

Проверенный пример

For μ=0.2 /cm the half-value layer is ln2/0.2=3.47 cm, and three such layers pass 1/8. Under a constant 2 MeV/cm loss model a 5 MeV particle stops after 2.5 cm; a photon beam instead keeps an exponential tail. A 25 cm cavity has mode spacing c/(2L)=600 MHz.

Распространённая ошибка

Присвоение фотонам определенного пробега или заряженным частицам единственного экспоненциального закона, а также игнорирование того, что заселенности двухуровневой системы в равновесии не могут быть инвертированы. Проверьте, какая модель взаимодействия требуется для данного вида пучка.

SN.2 · Дифракция Брэгга и теплоёмкость электронного газа

• Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.
• In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.
• The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=ℏ²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.
• Следовательно, металлы имеют два члена теплоёмкости при низких температурах: электронный член γT, линейно зависящий от T, и решёточный (Дебая) член βT³. График зависимости C/T от T² даёт пересечение γ и наклон β. При комнатной температуре решёточная часть приближается к классическому значению Дюлонга–Пти и доминирует; электронный член важен при низких температурах, где член T³ решётки убывает быстрее.

Проверенный пример

Cu Kα λ=0.154 nm with a first-order peak at θ=20° gives d≈0.225 nm; for cubic a=0.4 nm the (110) spacing is 0.283 nm. The free-electron count for n=8.5×10²⁸ /m³ gives E_F≈7.05 eV and T_F≈8.2×10⁴ K, so at 300 K only about 0.4% of electrons are thermally active. In C=γT+βT³, γT is electronic and βT³ is lattice.

Распространённая ошибка

Измерение угла θ относительно нормали к плоскости, а не самой плоскости, или приписывание всей теплоемкости при низких температурах электронам. Условия синуса и двухчленное разложение являются местами, где эти вычисления могут дать неверные результаты.

SN.3 · Энергии реакций, активность и балансы распада

• Энергия реакции Q=(m_нач−m_кон)c²; Q>0 выделяет кинетическую энергию. Отслеживайте все частицы и соблюдайте согласованность конвенции масс: табличные атомные массы включают электроны. Для β⁻-распада и α-распада с нейтральным гелиевым продуктом число атомных электронов балансируется напрямую; для β⁺-распада или электронного захвата требуются явные члены масс электронов. Используйте 1 u=931.5 MeV/c².
• α-распад ²³⁸U с атомными массами 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u даёт Δm=0.0046 u и Q≈4.28 МэВ. Слияние D+T с 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u даёт Q≈17.6 МэВ. Реакция также требует баланса зарядов и нуклонного числа: ¹⁴N+α→¹⁷O+p балансирует 7+2=9 и 14+4=18.
• Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.
• В цепи A→B→C с долгоживущим родителем (λ_A≪λ_B) B накапливается, пока его активность не приблизится к активности родителя (секулярное равновесие); запишите баланс dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. Кривая энергии связи на нуклон достигает максимума около железа, поэтому тяжёлое деление (около 7.6 до 8.5 МэВ на нуклон примерно по 240 нуклонам, порядка 200 МэВ) и лёгкое слияние оба выделяют энергию; сравнивайте полную энергию связи, а не количество нуклонов.

Проверенный пример

U-238 alpha decay: Q=(238.0508−234.0436−4.0026)×931.5≈4.28 MeV, carried mostly by the alpha by momentum conservation. D+T fusion releases ≈17.6 MeV. A sample with T½=2 h and 6×10¹² atoms has A≈5.8×10⁸ Bq. Fission of a heavy nucleus releases of order (8.5−7.6)×240≈200 MeV.

Распространённая ошибка

Смешивание атомных и ядерных масс без учёта электронов или указание положительного значения Q для реакции, требующей подвода энергии. Сначала уравняйте заряд и нуклонное число, затем проверьте знак Q.

MM.1 · Координатные операторы, разделённые моды и устойчивые обновления

• Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.
• Separation of variables turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.
• An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.
• Проверьте числовой ответ тремя способами, прежде чем доверять ему: размерность каждого члена (λh должно быть безразмерным), сходимость при уточнении (уменьшите h вдвое и сравните; ошибка явного метода Эйлера первого порядка) и предельный случай с известным точным решением. Для y′=−4y при y0=8 и h=0.2, пять шагов дают 8×0.2⁵=0.00256 против точного значения 8e^(−4)≈0.1465: решение устойчиво, но неточно, поэтому необходимо уточнение.

Проверенный пример

Радиальная проверка: f=1/r даёт f″+2f′/r=0 вне начала координат. Струна с L=0.5 м и c=100 м/с имеет f₁=c/(2L)=100 Гц. Устойчивость Эйлера для λ=10 /с требует h≤0.2 с; уточнение y′=−4y при y(0)=8 в момент t=1 с, начиная от h=0.2 до 0.1 до 0.05, даёт значения 0.00256, 0.0483, 0.0922, приближающихся к точному значению 0.1465.

Распространённая ошибка

Применение декартова лапласиана к радиальной функции, суммирование мод, нарушающих граничные условия, или объявление ограниченного процесса сходимым без уточнения шага. Соотнесите оператор, границы и условие устойчивости с реальной задачей.