Integrals, area and accumulation · Extension · Integrais, área e acumulação · Extensão
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitiva |
How much change has accumulated?
- A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
- This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.
Quanto acúmulo de variação acumulada?
- Um gráfico de velocidade nos mostra o movimento em um instante. Como podemos recuperar o deslocamento acumulado ao longo do tempo?
- Esta lição estuda antiderivada: uma função cuja derivada é igual ao integrando dado.
Choose the mathematical structure
- Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power. Include a constant for an indefinite integral. Evaluate a definite integral by subtracting antiderivative values at the limits.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Escolha a estrutura matemática
- Integre termos polinomiais aumentando a potência em uma unidade e dividindo pela nova potência. Inclua uma constante para uma integral indefinida. Avalie uma integral definida subtraindo os valores das primitivas nos limites.
- Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Which description correctly defines antiderivative? · Qual descrição define corretamente uma primitiva?
A function whose derivative equals the given integrand. · Uma função cuja derivada é igual ao integrando dado.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.
Passe por um caso verificado
- Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Para v(t)=3t²-3 sobre 0≤t≤2, o deslocamento=[t³-3t]_0^2=2. Como v muda de sinal em t=1, a distância=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. As constantes se cancelam apenas para uma integral definida.
Integrals, area and accumulation · Integrais, área e acumulação
Integrate polynomial terms by increasing the power by one and dividing by the new power · Integre termos polinomiais aumentando o expoente em uma unidade e dividindo pelo novo expoente
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare o modelo com o caso resolvido e explique uma mudança.
Find the integral of 3x² from 0 to 2. · Encontre a integral de 3x² entre 0 e 2.
An antiderivative is x³. Subtract its values: 2³-0³=8. · Uma primitiva é x³. Subtraia seus valores: 2³-0³=8.
Test a tempting shortcut
- Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Teste um atalho tentador
- Use os limites na ordem especificada. A constante cancela-se para uma integral definida, mas é necessária para uma integral indefinida. A área total positiva pode exigir divisão em pontos de cruzamento do eixo.
- Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Uma integral definida sempre equivale à área positiva total, mesmo quando o gráfico cruza o eixo. Essa afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
For v=3t²-3, find displacement from t=0 to 2. · Para v=3t²-3, encontre o deslocamento de t=0 até 2.
Displacement=[t³-3t] from 0 to 2=8-6=2. · Deslocamento=[t³-3t] entre 0 e 2=8-6=2.
A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. · Uma integral definida nem sempre equivale à área positiva total, mesmo quando o gráfico cruza o eixo.
Use the limits in the specified order. The constant cancels for a definite integral but is needed for an indefinite integral. Total positive area may require splitting at an axis crossing. · Use os limites na ordem especificada. A constante cancela-se para uma integral definida, mas é necessária para uma integral indefinida. A área positiva total pode exigir divisão em um cruzamento do eixo.
Interpret a new situation
- This 9260 Extension lesson uses polynomial integration and area. Logarithmic integrals, substitution, parts and differential equations are outside its scope.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete uma nova situação
- Esta 9260 Extensão usa integração polinomial e área. Integrais logarítmicas, substituição, integração por partes e equações diferenciais estão fora do escopo.
- Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
For that motion, find total distance from t=0 to 2. · Para esse movimento, encontre a distância total de t=0 até 2.
Velocity changes sign at t=1. The two positive distances are 2 and 4, giving 6. · A velocidade muda de sinal em t=1. As duas distâncias positivas são 2 e 4, resultando em 6.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associe cada parte de uma solução completa ao seu propósito.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Uma suposição justifica o modelo; uma verificação testa o resultado; a interpretação conecta-o à pergunta.
Use this in your course
- 9260 · Extension · 3.3. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use isso em seu curso
- 9260 · Extensão · 3.3. Alinhe o nível-alvo e a especificação antes de atribuir extensões.
- Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
Uma função cuja derivada é igual ao integrando dado. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.