Circles, arcs and sectors · Círculos, arcos e setores
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|---|---|
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | circunferência |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| sector/ˈsektə/ | setorial |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | comprimento de arco |
The number that never ends
- $\pi \approx 3.14159\dots$ is the ratio of every circle's circumference 圆周 to its diameter.
- It's irrational — the digits never repeat and never end. The ancient Egyptians approximated it as $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.
O número que nunca termina
- $\pi \approx 3.14159\dots$ é a razão entre a circunferência de cada círculo e seu diâmetro.
- É irracional — os dígitos nunca se repetem e nunca terminam. Os antigos egípcios o aproximaram como $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.
Circumference and area 面积
- For a circle with radius $r$ (diameter $d = 2r$):
Radius $7\text{ cm}$: circumference $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, area $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.
Don't confuse $r$ and $d$. If you're given the diameter, halve it first. A circle with diameter $10$ has radius $5$, so area $= \pi(5)^2 = 25\pi$, NOT $\pi(10)^2 = 100\pi$.
A sector 扇形 is the fraction $\tfrac{\theta}{360}$ of the whole circle, so its arc and area are that fraction of $2\pi r$ and $\pi r^2$
Circunferência e área
- Para um círculo com raio $r$ (diâmetro $d = 2r$):
Raio $7\text{ cm}$: circunferência $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, área $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.
Não confunda $r$ e $d$. Se você for dado o diâmetro, divida-o pela metade primeiro. Um círculo com diâmetro $10$ tem raio $5$, então área $= \pi(5)^2 = 25\pi$, NÃO $\pi(10)^2 = 100\pi$.
Um setor é a fração $\tfrac{\theta}{360}$ do círculo inteiro, portanto seu arco e área são essa fração de $2\pi r$ e $\pi r^2$
Arcs & sectors · Arcos & setores
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle · ângulo or · ou radius · raio means a longer arc · arco and larger sector area. · Um ângulo maior ou raio maior significa um arco mais longo e uma área de setor maior.
A circle has radius 7 cm. Its area is kπ cm². What is k? · Um círculo tem raio 7 cm. Sua área é kπ cm². Qual é k?
Area = πr² = π(7²) = 49π, so k = 49. · Área = πr² = π(7²) = 49π, então k = 49.
A circle has radius 7 cm. Its circumference is kπ cm. What is k? · Um círculo tem raio 7 cm. Sua circunferência é kπ cm. Qual é k?
Circumference = 2πr = 2π(7) = 14π, so k = 14. · Circunferência = 2πr = 2π(7) = 14π, então k = 14.
A circle with diameter 10 cm has area 100π cm². · Um círculo com diâmetro 10 cm tem área 100π cm².
Radius = 5 cm, so area = π(5²) = 25π, not 100π. You must halve the diameter first. · Raio = 5 cm, então área = π(5²) = 25π, não 100π. Você deve dividir o diâmetro pela metade primeiro.
Arcs and sectors
- A sector is a slice of the circle between two radii, with angle $\theta$.
- It is the fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A sector with angle $\theta$ is $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle — the same fraction applies to arc length 弧长 and area.
Arcos e setores
- Um setor é fatia do círculo entre dois raios, com ângulo $\theta$.
- É a fração $\dfrac{\theta}{360}$ do círculo inteiro:
Um setor com ângulo $\theta$ corresponde a $\dfrac{\theta}{360}$ do círculo inteiro — a mesma fração se aplica ao comprimento do arco e à área.
Worked example
- $\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: fraction $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
- Arc $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
- Area $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.
A circle: circumference = pi d and area = pi r squared
Exemplo resolvido
- $\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: fração $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
- Arco $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
- Área $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.
Um círculo: circunferência = pi d e área = pi r squared
A sector has angle 90° and radius 8 cm. Its area is kπ cm². What is k? · Um setor tem ângulo 90° e raio 8 cm. Sua área é kπ cm². Qual é k?
Fraction 90/360 = ¼; area = ¼ × π × 8² = 16π, so k = 16. · Fração 90/360 = ¼; área = ¼ × π × 8² = 16π, então k = 16.
A sector has angle 60° and radius 12 cm. The arc length is kπ cm. What is k? · Um setor tem ângulo 60° e raio 12 cm. O comprimento do arco é kπ cm. Qual é k?
Fraction = 60/360 = 1/6. Arc = (1/6) × 2π(12) = 4π, so k = 4. · Fração = 60/360 = 1/6. Arco = (1/6) × 2π(12) = 4π, então k = 4.
A sector is the fraction θ/______ of the whole circle. · Um setor é a fração θ/______ do círculo inteiro.
The fraction is θ/360, where θ is the sector angle in degrees. · A fração é θ/360, onde θ é o ângulo do setor em graus.
Arc length is not sector perimeter
- A sector of radius 6 cm and angle $120^{\circ}$ has fraction $1/3$. Arc length $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ cm; area $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
- Its perimeter also includes two radii: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ cm. Core sector angles are factors of $360^{\circ}$; Extended can use other angles.
Comprimento do arco não é perímetro do setor
- Um setor de raio 6 cm e ângulo $120^{\circ}$ tem fração $1/3$. Comprimento do arco $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ cm; área $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
- Seu perímetro inclui também dois raios: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ cm. Os ângulos centrais dos setores são fatores de $360^{\circ}$; os estendidos podem usar outros ângulos.
A sector has radius 6 cm and arc length 4π cm. Find its perimeter to 1 dp in cm. · Um setor tem raio 6 cm e comprimento de arco 4π cm. Encontre seu perímetro com 1 casas decimais em cm.
Perimeter = arc + two radii = 4π + 12 ≈ 24.6 cm. · Perímetro = arco + dois raios = 4π + 12 ≈ 24.6 cm.
You've got it
- circumference $= 2\pi r$; area $= \pi r^2$
- a sector of angle $\theta$ is the fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the circle
- $90^{\circ}$ sector of radius $8$: arc $4\pi$, area $16\pi$
Entendeu?
- circunferência $= 2\pi r$; área $= \pi r^2$
- um setor de ângulo $\theta$ é a fração $\dfrac{\theta}{360}$ do círculo
- setor $90^{\circ}$ de raio $8$: arco $4\pi$, área $16\pi$