Coordinates and the coordinate plane · Coordenadas e o plano cartesiano
| English | Português |
|---|---|
| coordinate plane/kəʊˈɔːdɪnət pleɪn/ | plano cartesiano |
| origin/ˈɒrɪdʒɪn/ | origem |
| quadrants/ˈkwɒdrənts/ | quadrantes |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordenadas |
A city, a battleship, a treasure map
- A friend says: "Walk 3 blocks east, then 2 blocks south." You can find the spot exactly — because you have two directions.
- A single number ("go 3 blocks") leaves you on a whole circle. Two numbers pin you to a single point.
- That is the whole idea behind the coordinate plane 坐标平面: every point gets a unique address.
Uma cidade, um couraçado, um mapa do tesouro
- Um amigo diz: "Caminhe 3 quarteirões para leste, depois 2 quarteirões para sul." Você pode encontrar o local exatamente — porque tem dois direções.
- Um único número ("vá 3 quarteirões") o deixa em todo um círculo. Dois números o fixam em um único ponto.
- Essa é toda a ideia por trás do plano cartesiano: cada ponto recebe um endereço único.
The coordinate plane
- Two perpendicular number lines — the $x$-axis (horizontal) and the $y$-axis (vertical) — meet at the origin 原点 $O = (0, 0)$.
- The axes split the plane into four quadrants 象限 (I, II, III, IV).
- Any point is described by its coordinates 坐标 $(x, y)$ — the $x$-value first, then the $y$-value.
The axes meet at the origin; $(3, -2)$ means 3 right, then 2 down — fourth quadrant.
O plano cartesiano
- Duas retas numéricas perpendiculares — o eixo $x$ (horizontal) e o eixo $y$ (vertical) — se encontram na origem $O = (0, 0)$.
- Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III, IV).
- Qualquer ponto é descrito por suas coordenadas $(x, y)$ — primeiro o valor $x$, depois o valor $y$.
*Os eixos se encontram na origem; $(3, -2)$ significa 3 para a direita, depois 2 para baixo — quarto quadrante.
The coordinate plane · O plano cartesiano
y = mx + c
Every point has an (x, y) coordinate. A straight line is the set of points where y depends on x in a fixed way. · Todo ponto tem coordenadas (x, y). Uma linha reta é o conjunto de pontos onde y depende de x de forma fixa.
The point where the $x$-axis and $y$-axis cross is called the ______. · O ponto onde os eixos $x$ e $y$ se cruzam é chamado de ______.
The origin is the point $(0, 0)$ where the two axes meet. · A origem é o ponto $(0, 0)$ onde os dois eixos se encontram.
Match each point to its quadrant. · Combine cada ponto com seu quadrante.
Quadrant I: both positive. II: $x$ negative, $y$ positive. III: both negative. IV: $x$ positive, $y$ negative. · Quadrante I: ambos positivos. II: $x$ negativo, $y$ positivo. III: ambos negativos. IV: $x$ positivo, $y$ negativo.
Reading a point
- Start at the origin. Read the $x$-value by going across (right is positive, left is negative).
- Then read the $y$-value by going up (positive) or down (negative).
- The point $(3, -2)$: go $3$ right, then $2$ down. It sits in quadrant IV.
The order matters. $(3, -2)$ and $(-2, 3)$ are completely different points. Always read across first, then up/down — like walking along a street before climbing stairs.
A city street grid: every place is fixed by its coordinates
Lendo um ponto
- Comece na origem. Leia o valor $x$ indo para o lado (direita é positivo, esquerda é negativo).
- Depois leia o valor $y$ indo para cima (positivo) ou para baixo (negativo).
- O ponto $(3, -2)$: vá $3$ para a direita, depois $2$ para baixo. Ele fica no quadrante IV.
A ordem importa. $(3, -2)$ e $(-2, 3)$ são pontos completamente diferentes. Sempre leia para o lado primeiro, depois para cima/baixo — como caminhar por uma rua antes de subir escadas.
Uma grade de ruas de cidade: cada lugar é fixado por suas coordenadas
The point $(-4, 3)$ is in which quadrant? · O ponto $(-4, 3)$ está em qual quadrante?
Negative · Negativo $x$ (left) and positive $y$ (up) → quadrant II (top-left). · Negative $x$ (esquerda) e positivo $y$ (cima) → quadrante II (topo-esquerda).
A point starts at $(2, 5)$. It moves $5$ right and $2$ down. What is its new $y$-coordinate? · Um ponto começa em $(2, 5)$. Ele se move $5$ para a direita e $2$ para baixo. Qual é sua nova coordenada $y$?
New position: $(2+5,\; 5-2) = (7, 3)$. The $y$-coordinate is $3$. · Nova posição: $(2+5,\; 5-2) = (7, 3)$. A coordenada $y$ é $3$.
The points $(3, -2)$ and · e $(-2, 3)$ are the same point. · Os pontos $(3, -2)$ e $(-2, 3)$ são pontos diferentes.
Coordinates are ordered: $(x, y)$. $(3, -2)$ is in quadrant IV; $(-2, 3)$ is in quadrant II — completely different locations. · As coordenadas são ordenadas: $(x, y)$. $(3, -2)$ está no quadrante IV; $(-2, 3)$ está no quadrante II — locais completamente diferentes.
Drawing a straight-line graph
- Most lines are $y = mx + c$. The quickest way to draw one:
- Method 1 — mark the intercept $c$ on the $y$-axis, then step using the gradient $m$.
- Method 2 — make a table of values: pick a few $x$-values, calculate $y$, plot the points, and join them.
The axes meet at the origin $O$ and split the plane into four quadrants; $(3,-2)$ means 3 right and 2 down
Desenhar um gráfico de linha reta
- A maioria das linhas é $y = mx + c$. A maneira mais rápida de desenhar uma:
- Método 1 — marque o intercepto $c$ no eixo $y$, depois use os passos da inclinação $m$.
- Método 2 — faça uma tabela de valores: escolha alguns valores de $x$, calcule $y$, plote os pontos e ligue-os.
Os eixos se encontram na origem $O$ e dividem o plano em quatro quadrantes; $(3,-2)$ significa 3 para a direita e 2 para baixo
Worked example — table of values
- Draw $y = 2x + 1$.
| $x$ | $y = 2x + 1$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $3$ |
| $2$ | $5$ |
- Plot $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$ and join with a straight line.
Pick $x$-values, find $y$, plot the points, and join — the table guarantees accuracy.
Special lines. $x = k$ is a vertical line (fixed $x$ for every $y$); $y = k$ is a horizontal line (fixed $y$ for every $x$). A horizontal line has $m=0$ and fits $y=mx+c$; a vertical line does not.
Exemplo resolvido — tabela de valores
- Desenhe $y = 2x + 1$.
| $x$ | $y = 2x + 1$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $3$ |
| $2$ | $5$ |
- Plote $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$ e junte com uma linha reta.
Escolha valores de $x$, encontre $y$, plote os pontos e ligue — a tabela garante precisão.
Linhas especiais. $x = k$ é uma linha vertical (valor fixo de $x$ para todo $y$); $y = k$ é uma linha horizontal (valor fixo de $y$ para todo $x$). Uma linha horizontal tem $m=0$ e satisfaz $y=mx+c$; uma linha vertical não.
Which equation gives a horizontal line? · Qual equação representa uma linha horizontal?
$y = k$ fixes the $y$-value for every $x$, giving a horizontal line. $x = k$ is vertical. · $y = k$ fixa o valor de $y$ para todo $x$, resultando em uma linha horizontal. $x = k$ é vertical.
Fun fact
- The coordinate plane is named after René Descartes (1596–1650), who — legend has it — invented it while lying in bed watching a fly on the ceiling and wondering how to describe its exact position.
Dado curioso
- O plano cartesiano é nomeado após René Descartes (1596–1650), que — segundo a lenda — o inventou enquanto estava deitado na cama observando uma mosca no teto e se perguntando como descrever sua posição exata.
You've got it
- a point is $(x, y)$ — across first, then up/down; the axes meet at the origin $(0, 0)$
- the four quadrants are numbered I (top-right) → IV (bottom-right) anti-clockwise
- $(3, -2)$ → 3 right, 2 down (quadrant IV); $(-2, 3)$ is a different point entirely
- draw $y = mx + c$ by marking $c$ on the $y$-axis, then stepping with the gradient — or use a table of values
Entendeu?
- um ponto é $(x, y)$ — para o lado primeiro, depois para cima/baixo; os eixos se encontram na origem $(0, 0)$
- os quatro quadrantes são numerados I (topo-direita) → IV (base-direita) anti-horário
- $(3, -2)$ → 3 para a direita, 2 para baixo (quadrante IV); $(-2, 3)$ é um ponto diferente totalmente
- desenhe $y = mx + c$ marcando $c$ no eixo $y$, depois usando os passos da inclinação — ou use uma tabela de valores