Carrying Out a Goodness-of-Fit Test · Realizando um Teste de Ajuste
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| chi-square statistic/kaɪ skweə stəˈtɪstɪk/ | estatística qui-quadrado |
The chi-square statistic
- The chi-square statistic 卡方统计量 adds up the standardized gaps across all categories:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Each term compares one category's observed and expected counts.
- Squaring makes every gap positive; dividing by expected scales it.
A estatística qui-quadrado
- A estatística qui-quadrado 卡方统计量 soma as lacunas padronizadas através de todas as categorias:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Cada termo compara as contagens observadas e esperadas de uma categoria.
- Elevar ao quadrado torna todas as lacunas positivas; dividir pela esperada escala o valor.
Bigger gaps, bigger chi-square
- If observed $\approx$ expected everywhere, each term is tiny → $\chi^2$ is small.
- Large mismatches make terms large → a big $\chi^2$.
- So a large $\chi^2$ is evidence against the claimed distribution.
- $\chi^2$ is always $\ge 0$ (a sum of squares over positives).
Lacunas maiores, qui-quadrado maior
- Se observadas $\approx$ esperadas em todos os lugares, cada termo é pequeno → $\chi^2$ é pequeno.
- Desacordos grandes tornam os termos grandes → um $\chi^2$ grande.
- Então um grandes $\chi^2$ é evidência contra a distribuição afirmada.
- $\chi^2$ é sempre $\ge 0$ (uma soma de quadrados sobre positivos).
Find the p-value
- The p-value is the area to the right of $\chi^2$ under the chi-square curve at the right $df$.
- Chi-square is a right-tailed test — only large values are "extreme."
- A big $\chi^2$ sits far right → small p-value → strong evidence against $H_0$.
- Use technology or a table with $df = \text{categories} - 1$.
Encontrar o p-valor
- O p-valor é a área à direita de $\chi^2$ sob a curva qui-quadrado no $df$ correto.
- Qui-quadrado é um teste de cauda direita — apenas valores grandes são "extremos."
- Um grandestante $\chi^2$ fica muito à direita → p-valor pequeno → forte evidência contra $H_0$.
- Use tecnologia ou uma tabela com $df = \text{categories} - 1$.
Decide and conclude
- Compare the p-value to $\alpha$: p $\le \alpha$ → reject $H_0$; else fail to reject.
- Reject: convincing evidence the true distribution differs from the claim.
- Fail to reject: not convincing evidence against the claimed fit.
- State it in context — about the model's fit to the data.
Decida e conclua
- Compare o p-valor a $\alpha$: p $\le \alpha$ → rejeite $H_0$; caso contrário, não rejeite.
- Rejeite: evidência convincente de que a verdadeira distribuição difere da afirmação.
- Não rejeite: não há evidência convincente contra o ajuste afirmado.
- Afirme no contexto — sobre o ajuste do modelo aos dados.
Chi-square is always a right-tailed test — never double the tail. Only large $\chi^2$ values are surprising, so the p-value is the right-tail area only (unlike a two-sided $z$ or $t$). Also, plug counts into the formula, not proportions, and use expected (not observed) in each denominator.
Qui-quadrado é sempre um teste de cauda direita — nunca dobre a cauda. Apenas valores grandes de $\chi^2$ são surpreendentes, então o p-valor é a área da cauda direita apenas (diferente de um $z$ bilateral ou $t$). Além disso, insira contagens na fórmula, não proporções, e use a esperada (não a observada) em cada denominador.
Die test: observed $8, 12, 9, 11, 10, 10$; expected $10$ each; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-value: right-tail area beyond $1.0$ at $df=5$ is large ($\approx 0.96$).
- Decide: $0.96 > 0.05$ → fail to reject; no evidence the die is unfair.
Teste de dado: observadas $8, 12, 9, 11, 10, 10$; esperadas $10$ cada; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-valor: área da cauda direita além de $1.0$ em $df=5$ é grande ($\approx 0.96$).
- Decisão: $0.96 > 0.05$ → não rejeite; nenhuma evidência de que o dado é injusto.
The chi-square statistic $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ measures total mismatch. Its p-value is the right-tail area at $df = \text{categories} - 1$. Compare to $\alpha$: reject $H_0$ if p $\le \alpha$ (the model fits poorly), else fail to reject — stated in context.
A estatística qui-quadrado $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ mede o desacordo total. Seu p-valor é a área da cauda direita em $df = \text{categories} - 1$. Compare a $\alpha$: rejeite $H_0$ se p $\le \alpha$ (o modelo ajusta mal), caso contrário, não rejeite — afirmado no contexto.
A right-skewed test distribution · Uma distribuição de teste assimétrica à direita
Chi-square is right-tailed — only large values are extreme. · Qui-quadrado é cauda-direita — apenas valores grandes são extremos.
One category has observed 8, expected 10. Compute (observed − expected)²/expected. · Uma categoria tem observado 8, esperado 10. Calcule (observado − esperado)²/esperado.
(8−10)²/10 = 4/10 = 0.4.
A chi-square test is... · Um teste qui-quadrado é...
Only large χ² is extreme → right tail only. · Apenas χ² grande é extremo → apenas cauda-direita.
A large chi-square statistic is evidence against the claimed distribution. · Uma estatística qui-quadrado grande é evidência contra a distribuição alegada.
Big gaps → big χ² → evidence against H0. · Grandes lacunas → grande χ² → evidência contra H0.
In the chi-square formula, each denominator is the ___ count. · Na fórmula qui-quadrado, cada denominador é a contagem ___.
Divide the squared gap by the expected count. · Divida a lacuna ao quadrado pela contagem esperada.
The chi-square statistic can be negative. · A estatística qui-quadrado pode ser negativa.
It's a sum of squares over positive expecteds — always ≥ 0. · É uma soma de quadrados sobre esperados positivos — sempre ≥ 0.