Sampling Distribution of x-bar · Distribuição Amostral de x-bar
| English | Português |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | média amostral |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | erro padrão |
The distribution of x-bar
- A sample mean 样本均值 $\bar{x}$ estimates the true population mean $\mu$.
- Its sampling distribution is centered at $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (so $\bar{x}$ is unbiased).
- Each sample gives a different $\bar{x}$; the spread shrinks with sample size.
- This is the workhorse statistic for inference about means.
A distribuição de x-barra
- Uma média amostral 样本均值 $\bar{x}$ estima a verdadeira média populacional $\mu$.
- Sua distribuição amostral é centralizada em $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (portanto, $\bar{x}$ é não viesado).
- Cada amostra produz um diferente $\bar{x}$; a dispersão diminui com o tamanho da amostra.
- Esta é a estatística fundamental para inferências sobre médias.
The standard deviation
- The standard deviation of $\bar{x}$ is:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- The population SD divided by $\sqrt{n}$ — often called the standard error.
- Quadruple $n$ and the spread only halves (because of the square root).
O desvio padrão
- O desvio padrão de $\bar{x}$ é:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- O DP populacional dividido por $\sqrt{n}$ — frequentemente chamado de erro padrão.
- Quadruplicar $n$ e a dispersão apenas cai pela metade (devido à raiz quadrada).
Normality via the CLT
- Is $\bar{x}$ normal? Two ways to justify it:
- If the population is normal, $\bar{x}$ is exactly normal for any $n$.
- Otherwise, the Central Limit Theorem gives approximate normality when $n \ge 30$.
- Always state which justification your problem relies on.
Normalidade via TCL
- $\bar{x}$ é normal? Duas maneiras de justificá-lo:
- Se a população for normal, $\bar{x}$ é exatamente normal para qualquer $n$.
- Caso contrário, o Teorema do Limite Central fornece normalidade aproximada quando $n \ge 30$.
- Sempre especifique qual justificação o seu problema utiliza.
Conditions and probabilities
- Check the 10% condition ($n \le 0.10N$) when sampling without replacement.
- With normality justified, standardize: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Then find probabilities for $\bar{x}$ from the standard normal.
- This answers "how likely is a sample mean this far from $\mu$?"
Condições e probabilidades
- Verifique a condição de 10% ($n \le 0.10N$) ao amostrar sem reposição.
- Com a normalidade justificada, padronize: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Então encontre probabilidades para $\bar{x}$ da normal padrão.
- Isso responde "qual a probabilidade de uma média amostral estar tão distante de $\mu$?"
Use $\sigma/\sqrt{n}$, not $\sigma$, for the spread of $\bar{x}$ — the sample mean varies far less than individual data values. A frequent error is dividing by $n$ instead of $\sqrt{n}$. And justify normality explicitly: either a normal population or the CLT with a large $n$ — don't assume $\bar{x}$ is normal for a small sample from a skewed population.
Use $\sigma/\sqrt{n}$, não $\sigma$, para a dispersão de $\bar{x}$ — a média amostral varia muito menos do que valores individuais de dados. Um erro frequente é dividir por $n$ em vez de $\sqrt{n}$. E justifique a normalidade explicitamente: ou uma população normal ou o TCC com uma grande $n$ — não assuma que $\bar{x}$ é normal para uma pequena amostra de uma população assimétrica.
Population mean $\mu = 100$, SD $\sigma = 20$; take $n = 25$.
- Center: $\mu_{\bar{x}} = 100$. SD: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → about $2.5\%$.
- So a sample mean above $108$ is fairly unlikely.
Média populacional $\mu = 100$, DP $\sigma = 20$; pegue $n = 25$.
- Centro: $\mu_{\bar{x}} = 100$. DP: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → cerca de $2.5\%$.
- Então uma média amostral acima de $108$ é pouco provável.
The sample mean $\bar{x}$ has $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justify a normal model either by a normal population or by the Central Limit Theorem ($n\ge 30$); check the 10% condition when sampling without replacement, then find probabilities via $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
A média amostral $\bar{x}$ tem $\mu_{\bar{x}} = \mu$ e $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justifique um modelo normal ou por uma população normal ou pelo Teorema Central do Limite ($n\ge 30$); verifique a condição de 10% ao amostrar sem reposição, depois encontre probabilidades via $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
The sampling distribution of x-bar · A distribuição amostral de x-bar
Centered at μ, spread σ/√n (the standard error). · Centrada em μ, dispersão σ/√n (o erro padrão).
Population σ = 20, n = 25. Find the SD of x-bar, σ/√n. · População σ = 20, n = 25. Encontre o DP de x-bar, σ/√n.
20/√25 = 20/5 = 4.
With μ=100 and SD of x-bar = 4, find the z-score of x-bar = 108. · Com μ=100 e DP de x-bar = 4, encontre o escore z de x-bar = 108.
z = (108 − 100)/4 = 2.
The standard deviation of the sample mean is... · O desvio padrão da média amostral é...
Divide σ by √n — not by n. · Divida σ por √n — não por n.
If the population is already normal, x-bar is normal for any sample size n. · Se a população já for normal, x-bar é normal para qualquer tamanho de amostra n.
A normal population gives an exactly normal x-bar at any n. · Uma população normal produz um x-bar exatamente normal em qualquer n.
To make the sampling distribution of x-bar have half the spread, you should... · Para fazer a distribuição amostral de x-bar ter metade da dispersão, você deve...
Spread ∝ 1/√n, so 4× n halves the SD. · Dispersão ∝ 1/√n, então 4× n reduz o DP pela metade.