Difference of Two Means · Diferença de Duas Médias
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| difference of two sample means/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl miːnz/ | diferença de duas médias amostrais |
Comparing two means
- To compare two population means, use the difference of two sample means 两个样本均值之差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$.
- Its sampling distribution is centered at the true difference: $\mu_1 - \mu_2$.
- This statistic drives every two-sample $t$-procedure in Unit 7.
- It tells us whether two groups' averages genuinely differ.
Comparando duas médias
- Para comparar duas médias populacionais, use a diferença entre duas médias amostrais 两个样本均值之差 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$.
- Sua distribuição amostral é centralizada na diferença verdadeira: $\mu_1 - \mu_2$.
- Essa estatística impulsiona todo procedimento de dois-amostras ⟨⟩$t$ na Unidade 7.
- Ela nos diz se as médias de dois grupos realmente diferem.
Combining the two spreads
- The standard deviation combines both groups' variability:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- Again the variances add — each group contributes its own $\frac{\sigma^2}{n}$.
- The $+$ holds even though we're taking a difference of means.
Combinando as duas dispersões
- O desvio padrão combina a variabilidade de ambos os grupos:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- Novamente as variâncias somam — cada grupo contribui com sua própria $\frac{\sigma^2}{n}$.
- A $+$ se mantém mesmo quando estamos calculando uma diferença de médias.
Conditions for both samples
- Normality: each $\bar{x}$ must be normal — a normal population or a large enough $n$ (CLT) for each group.
- Independence: the two samples are independent of each other.
- The 10% condition for each if sampling without replacement.
- Verify these separately for group $1$ and group $2$.
Condições para ambas as amostras
- Normalidade: cada $\bar{x}$ deve ser normal — uma população normal ou uma $n$ suficientemente grande (TCC) para cada grupo.
- Independência: as duas amostras são independentes entre si.
- A condição de 10% para cada uma se for amostragem sem reposição.
- Verifique essas separadamente para o grupo $1$ e o grupo $2$.
Using the normal model
- With conditions met, $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ is approximately normal.
- Standardize: (observed difference $-$ true difference) $\div$ the combined SD.
- Read the probability from the standard normal.
- This foundation becomes the two-sample $t$-test and interval later.
Usando o modelo normal
- Com as condições atendidas, $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ é aproximadamente normal.
- Padronize: (diferença observada $-$ diferença verdadeira) $\div$ o DP combinado.
- Leia a probabilidade da normal padrão.
- Essa base torna-se o teste de dois-amostras ⟨⟩$t$ e intervalo mais tarde.
Add the variances, even for a difference of means — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$, then square-root; never subtract, and never add the SDs directly. And each group needs its own normality justification (normal population or large $n$) — the CLT must be satisfied per group, not for the combined data.
Some as variâncias, mesmo para uma diferença de médias — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$, depois raiz quadrada; nunca subtraia, e nunca some os DPs diretamente. E cada grupo precisa de sua própria justificativa de normalidade (população normal ou grande $n$) — o TCC deve ser satisfeito por grupo, não para os dados combinados.
Group $1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. Group $2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- Center: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- Standardize any observed difference against this center and SD.
Grupo $1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. Grupo $2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- Centro: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- DP: $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- Padronize qualquer diferença observada contra esse centro e DP.
The difference of two sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ has mean $\mu_1 - \mu_2$ and SD $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ (variances add). Model it as normal when the normality (per group) and independence conditions hold — the basis for two-sample inference about means.
A diferença entre duas médias amostrais $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ tem média $\mu_1 - \mu_2$ e DP $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ (variâncias somam). Modele-o como normal quando as condições de normalidade (por grupo) e independência forem atendidas — a base para inferência de dois-amostras sobre médias.
Distribution of x-bar-1 − x-bar-2 · Distribuição de x-bar-1 − x-bar-2
Centered at μ1 − μ2; the two variances add under the root. · Centrada em μ1 − μ2; as duas variâncias somam sob a raiz.
μ1 = 50, μ2 = 45. Find the center of x-bar-1 − x-bar-2. · μ1 = 50, μ2 = 45. Encontre o centro de x-bar-1 − x-bar-2.
μ1 − μ2 = 50 − 45 = 5.
σ1=6,n1=9 and σ2=8,n2=16. Find SD = √(36/9 + 64/16). Round to two decimals. · σ1=6,n1=9 e σ2=8,n2=16. Encontre DP = √(36/9 + 64/16). Arredonde para duas casas decimais.
√(4 + 4) = √8 ≈ 2.83.
The variance of a difference of two independent sample means is the sum of the two variances. · A variância de uma diferença de duas médias amostrais independentes é a soma das duas variâncias.
Variances add even for a difference: σ1²/n1 + σ2²/n2. · As variâncias somam mesmo para uma diferença: σ1²/n1 + σ2²/n2.
For a normal model of x-bar-1 − x-bar-2, normality must be justified... · Para um modelo normal de x-bar-1 − x-bar-2, a normalidade deve ser justificada...
Each group needs a normal population or a large enough n. · Cada grupo precisa de uma população normal ou n grande o suficiente.
You may add the two standard deviations directly to get the SD of the difference. · Você pode somar diretamente os dois desvios padrão para obter o DP da diferença.
Add the variances, then take the square root — not the SDs. · Some as variâncias, depois tire a raiz quadrada — não os DPs.