Difference of Two Proportions · Diferença de Duas Proporções
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| difference of two sample proportions/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl prəˈpɔːʃnz/ | diferença de duas proporções amostrais |
Comparing two groups
- Often we compare two proportions — say, support in group $1$ vs group $2$.
- The statistic is the difference of two sample proportions 两个样本比例之差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$.
- Its sampling distribution is centered at the true difference: $\mu = p_1 - p_2$.
- It lets us judge whether two groups genuinely differ.
Comparando dois grupos
- Frequentemente comparamos duas proporções — digamos, apoio no grupo $1$ versus grupo $2$.
- A estatística é a diferença entre duas proporções amostrais 两个样本比例之差 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$.
- Sua distribuição amostral é centralizada na diferença verdadeira: $\mu = p_1 - p_2$.
- Ela nos permite julgar se dois grupos realmente diferem.
Combining the spreads
- The standard deviation combines both samples' variability:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- Note the $+$: variances add (echoing the "combining variables" rule) even for a difference.
- Each group contributes its own $\frac{p(1-p)}{n}$ term.
Combinando as dispersões
- O desvio padrão combina a variabilidade de ambas as amostras:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- Note o $+$: variâncias se somam (relembrando a regra de "combinar variáveis") mesmo para uma diferença.
- Cada grupo contribui com seu próprio termo $\frac{p(1-p)}{n}$.
Check both samples
- Apply the large counts condition to each group: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ all $\ge 10$.
- Require independence: the two samples are independent of each other.
- Also the 10% condition for each if sampling without replacement.
- Only then is the normal model for $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ valid.
Verificar ambas as amostras
- Aplique a condição de grandes contagens a cada grupo: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ todos $\ge 10$.
- Exija independência: as duas amostras são independentes entre si.
- Também a condição de 10% para cada uma se amostrar sem reposição.
- Somente então o modelo normal para $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ é válido.
Using the normal model
- With conditions met, $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ is approximately normal.
- Standardize with a $z$-score: (observed difference $-$ true difference) $\div$ the combined SD.
- Then read probabilities from the standard normal, as before.
- This is the foundation for two-proportion tests and intervals (Unit 6).
Usando o modelo normal
- Com as condições atendidas, $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ é aproximadamente normal.
- Padronize com um escore-z $z$: (diferença observada $-$ diferença verdadeira) $\div$ o DP combinado.
- Depois leia probabilidades na normal padrão, como antes.
- Esta é a base para testes e intervalos de duas proporções (Unidade 6).
Variances add — even for a difference. The SD of $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ combines the two $\frac{p(1-p)}{n}$ terms with a $+$, then a square root; you never subtract them. And check the large counts condition in both groups separately (four counts, all $\ge 10$) — one healthy group doesn't excuse a thin one.
As variâncias se somam — mesmo para uma diferença. O DP de $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ combina os dois termos $\frac{p(1-p)}{n}$ com uma $+$, depois uma raiz quadrada; você nunca os subtrai. E verifique a condição de grandes contagens em ambos os grupos separadamente (quatro contagens, todas $\ge 10$) — um grupo saudável não isenta um grupo escasso.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- Center: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- Counts: all four ($50, 50, 40, 60$) exceed $10$ → normal is OK.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- Centro: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- DP: $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- Contagens: todas as quatro ($50, 50, 40, 60$) excedem $10$ → normal é aceitável.
The difference of two sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ has mean $p_1 - p_2$ and SD $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ (variances add). Model it as normal when the large counts and independence conditions hold for both samples.
A diferença entre duas proporções amostrais $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ tem média $p_1 - p_2$ e DP $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ (as variâncias se somam). Modele-a como normal quando as condições de grandes contagens e independência forem satisfeitas para ambas as amostras.
Distribution of p-hat-1 − p-hat-2 · Distribuição de p-hat-1 − p-hat-2
Centered at p1 − p2; the two variances add under the square root. · Centrada em p1 − p2; as duas variâncias somam sob a raiz quadrada.
p1=0.5, p2=0.4. Find the center (mean) of p-hat-1 − p-hat-2. · p1=0.5, p2=0.4. Encontre a média (esperança) de p-hat-1 − p-hat-2.
Mean = p1 − p2 = 0.5 − 0.4 = 0.1. · Média = p1 − p2 = 0.5 − 0.4 = 0.1.
With p1=0.5,n1=100 and p2=0.4,n2=100: SD = √(0.0025+0.0024). Round to two decimals. · Com p1=0.5, n1=100 e p2=0.4, n2=100: SD = √(0.0025+0.0024). Arredonde para duas casas decimais.
√0.0049 = 0.07.
To get the SD of a difference of two proportions, you subtract the two variances. · Para obter o DP de uma diferença de duas proporções, você subtrai as duas variâncias.
Variances ADD, even for a difference, then square-root. · As variâncias SOMAM, mesmo para uma diferença, depois raiz quadrada.
For a normal model of p-hat-1 − p-hat-2, the large counts condition must hold... · Para um modelo normal de p-hat-1 − p-hat-2, a condição de contagens grandes deve ser satisfeita...
All four counts (both groups) must be ≥ 10. · Os quatro contadores (ambos os grupos) devem ser ≥ 10.
The two samples must be independent of each other for this model. · As duas amostras devem ser independentes entre si para este modelo.
Independence between samples is required. · A independência entre amostras é exigida.