Sampling Distribution of p-hat · Distribuição Amostral de p-hat
| English | Português |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | proporção amostral |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | condição de contagens grandes |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | condição de 10% |
The distribution of p-hat
- A sample proportion 样本比例 $\hat{p}$ estimates the true population proportion $p$.
- Its sampling distribution is centered at $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (so $\hat{p}$ is unbiased).
- Different samples give different $\hat{p}$ — the spread is what we quantify next.
- Under the right conditions, this distribution is approximately normal.
A distribuição de p-hat
- Uma proporção amostral 样本比例 $\hat{p}$ estima a verdadeira proporção populacional $p$.
- Sua distribuição amostral é centralizada em $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (portanto, $\hat{p}$ é não viesado).
- Amostras diferentes produzem diferentes $\hat{p}$ — a dispersão é o que quantificamos a seguir.
- Sob as condições corretas, esta distribuição é aproximadamente normal.
Its standard deviation
- The standard deviation of $\hat{p}$ is:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Bigger $n$ → smaller spread → a more precise estimate (the $\sqrt{n}$ in the bottom).
- This measures the typical distance of $\hat{p}$ from the true $p$.
Seu desvio padrão
- O desvio padrão de $\hat{p}$ é:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Maior $n$ → menor dispersão → uma estimativa mais precisa (o $\sqrt{n}$ na parte inferior).
- Isso mede a distância típica de $\hat{p}$ em relação ao verdadeiro $p$.
The large counts condition
- To use a normal model for $\hat{p}$, check the large counts condition 大计数条件:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- In words: expect at least $10$ successes and at least $10$ failures.
- If either count is under $10$, the sampling distribution is too skewed for the normal model.
A condição de contagem grande
- Para usar um modelo normal para $\hat{p}$, verifique a condição de grandes contagens 大计数条件:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- Em palavras: espere pelo menos $10$ sucessos e pelo menos $10$ fracassos.
- Se qualquer contagem for inferior a $10$, a distribuição amostral está muito assimétrica para o modelo normal.
The 10% condition
- When sampling without replacement, check the 10% condition 10%条件.
- The sample must be no more than $10\%$ of the population: $n \le 0.10 N$.
- This keeps the trials "close enough" to independent for the SD formula to hold.
- A small slice of a big population barely changes as you draw.
A condição de 10%
- Ao amostrar sem reposição, verifique a condição de 10% 10%条件.
- A amostra deve ser no máximo $10\%$ da população: $n \le 0.10 N$.
- Isso mantém os ensaios "praticamente independentes" para que a fórmula do DP seja válida.
- Uma fatia pequena de uma grande população pouco muda à medida que você extrai.
Two different conditions do two different jobs. The large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifies the normal shape; the 10% condition ($n\le0.10N$) justifies the independence behind the SD formula. Check both before modeling $\hat{p}$ as normal — skipping either invalidates the later inference.
Duas condições diferentes fazem dois trabalhos diferentes. A condição de grandes contagens ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifica a forma normal; a condição de 10% ($n\le0.10N$) justifica a independência por trás da fórmula do DP. Verifique ambas antes de modelar $\hat{p}$ como normal — pular qualquer uma invalida a inferência posterior.
$p = 0.4$ of a population supports a plan; you sample $n = 100$.
- Center: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. SD: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Large counts: $np = 40 \ge 10$ and $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal is OK.
- 10%: fine as long as the population exceeds $1000$.
$p = 0.4$ de uma população apoia um plano; você amostra $n = 100$.
- Centro: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. DP: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Grandes contagens: $np = 40 \ge 10$ e $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal é aceitável.
- 10%: tudo bem desde que a população exceda $1000$.
The sample proportion $\hat{p}$ has $\mu_{\hat{p}} = p$ and $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Model it as normal when the large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) holds; when sampling without replacement, also check the 10% condition ($n \le 0.10N$).
A proporção amostral $\hat{p}$ tem $\mu_{\hat{p}} = p$ e $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Modele-a como normal quando a condição de grandes contagens ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) for satisfeita; ao amostrar sem reposição, também verifique a condição de 10% ($n \le 0.10N$).
The sampling distribution of p-hat · A distribuição amostral de p-hat
Centered at p, spread √(p(1−p)/n); normal under the large counts condition. · Centrada em p, dispersão (p(1−p)/n); normal sob a condição de contagens grandes.
p = 0.4, n = 100. Find σ of p-hat = √(p(1−p)/n). Round to two decimals. · p = 0.4, n = 100. Calcule σ de p-hat = √(p(1−p)/n). Arredonde para duas casas decimais.
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
The large counts condition for a normal model of p-hat requires... · A condição de contagens grandes para um modelo normal de p-hat requer...
At least 10 expected successes AND 10 expected failures. · Pelo menos 10 sucessos esperados E 10 fracassos esperados.
The mean of the sampling distribution of p-hat equals the true proportion p. · A média da distribuição amostral de p-hat é igual à proporção verdadeira p.
μ(p-hat) = p, so p-hat is unbiased. · μ(p-hat) = p, então p-hat é não viesado.
When sampling without replacement, the 10% condition requires... · Ao amostrar sem reposição, a condição de 10% requer...
The sample must be at most 10% of the population. · A amostra deve ser, no máximo, 10% da população.
Increasing n makes the standard deviation of p-hat smaller. · Aumentar n torna o desvio padrão de p-hat menor.
n is under the square root, so larger n → smaller spread. · n está sob a raiz quadrada, então n maior → menor dispersão.