Conic Sections · Secções Cônicas
| English | Português |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | elipse |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | hipérbole |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | seção cônica |
Slicing a cone
- Take a double cone and slice it with a flat plane at different tilts.
- Cut straight across and you get a circle; tilt a little and it stretches to an ellipse.
- Tilt more and it opens into a parabola; steeper still and it splits into a hyperbola.
- These four curves — the conic sections — appear all over science and design.
Cortando um cone
- Pegue um cone duplo e corte-o com um plano plano em diferentes inclinações.
- Corte reto horizontalmente e obterá um círculo; incline levemente e ele se estica para uma elipse.
- Incline mais e abre-se numa parábola; incline ainda mais e divide-se numa hipérbole.
- Estas quatro curvas — as seções cônicas — aparecem em toda parte na ciência e no design.
The family of conics
- A conic section 圆锥曲线 is a curve where a plane cuts a cone.
- The four types are the circle, the ellipse, the parabola, and the hyperbola.
- Each has a clean implicit equation and a geometric "distance" definition.
- Planets orbit on ellipses; thrown balls and satellite dishes trace parabolas.
A família das cônicas
- Uma seção cônica (圆锥曲线) é uma curva formada quando um plano corta um cone.
- Os quatro tipos são o círculo, a elipse, a parábola e a hipérbole.
- Cada uma possui uma equação implícita limpa e uma definição geométrica de "distância".
- Planetas orbitam em elipses; bolas arremessadas e antenas parabólicas traçam paráboles.
The · A conic sections are the curves formed by… · As secções cônicas são as curvas formadas por…
A conic section is the intersection of a plane and a cone; the slice angle gives a circle, ellipse, parabola, or hyperbola. · Uma seção cônica é a interseção de um plano e um cone; o ângulo do corte determina um círculo, elipse, parábola ou hipérbole.
A circle is a special conic section (an ellipse whose two foci coincide). · Um círculo é uma seção cônica especial (uma elipse cujos dois focos coincidem).
When the two foci merge into one centre, the ellipse becomes a perfectly round circle. · Quando os dois focos se fundem em um único centro, a elipse torna-se um círculo perfeitamente redondo.
The ellipse
- An ellipse 椭圆 is the set of points whose distances to two fixed foci add to a constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, a stretched circle.
- A circle is just the special case where the two foci merge into one centre.
- The longer axis is the major axis; the shorter is the minor axis.
A elipse
- Uma elipse (椭圆) é o conjunto de pontos cujas distâncias a dois focos fixos somam uma constante.
- Sua equação é $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, um círculo alongado.
- Um círculo é apenas o caso especial em que os dois focos se fundem em um único centro.
- O eixo maior é o eixo principal; o menor é o eixo secundário.
An ellipse · elipse is the set of points where the sum of distances to two foci is… · Uma elipse é o conjunto de pontos onde a soma das distâncias a dois focos é…
Every point on an ellipse · elipse has the same · mesmo total distance to the two foci — that constant defines the shape. · Cada ponto em uma elipse tem a mesma distância total aos dois focos — essa constante define a forma.
Select all · todos the conic sections. · Selecione todas as secções cônicas.
A triangle is not a conic. The circle, ellipse, parabola, and hyperbola are the conic sections. · Um triângulo não é uma cônica. O círculo, a elipse, a parábola e a hipérbole são as secções cônicas.
Parabola and hyperbola
- A parabola 抛物线 is the set of points equidistant from a focus and a fixed line (the directrix).
- Its equation looks like $y = ax^2$ — the graph of a quadratic.
- A hyperbola 双曲线 is where the difference of distances to two foci is constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, opening into two branches.
Parábola e hipérbole
- Uma parábola (抛物线) é o conjunto de pontos equidistantes de um foco e de uma reta fixa (a diretriz).
- Sua equação tem a aparência de $y = ax^2$ — o gráfico de uma quadrática.
- Uma hipérbole (双曲线) é onde a diferença das distâncias a dois focos é constante.
- Sua equação é $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, abrindo-se em dois ramos.
Which conic section? · Qual seção cônica?
The squared terms tell you the conic. Sort each equation. · Os termos ao quadrado indicam a cônica. Classifique cada equação.
A ____ is the conic where each point is equidistant from a focus and a directrix line. · Uma ____ é a cônica onde cada ponto está equidistante de um foco e de uma linha diretriz.
A parabola · parábola balances distance to a focus against distance to a fixed line (the directrix). · Uma parábola equilibra a distância a um foco contra a distância a uma linha fixa (a diretriz).
Recognising a conic
- Read the equation's form: an $x^2 + y^2$ with equal coefficients is a circle.
- Different positive coefficients on $x^2$ and $y^2$ give an ellipse.
- Only one squared term gives a parabola; a minus sign between them gives a hyperbola.
- The sign pattern of the squared terms tells you which conic you have.
Reconhecendo uma cônica
- Leia a forma da equação: um $x^2 + y^2$ com coeficientes iguais é um círculo.
- Coeficientes positivos diferentes em $x^2$ e $y^2$ dão uma elipse.
- Apenas um termo ao quadrado indica uma parábola; um sinal de menos entre eles indica uma hipérbole.
- O padrão de sinais dos termos ao quadrado diz qual cônica você tem.
Not every conic is a function of $x$. Circles, ellipses, and sideways parabolas fail the vertical-line test. Describe them with implicit equations or parametric forms, not by trying to force a single $y = f(x)$.
Nem toda cônica é uma função de $x$. Círculos, elipses e paráboles laterais falham no teste da linha vertical. Descreva-as com equações implícitas ou formas paramétricas, em vez de tentar forçar uma única $y = f(x)$.
Identify the conic $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Both terms are squared, positive, and different coefficients.
- That is the equation of an ellipse.
- It stretches to $x = \pm 3$ (major axis) and $y = \pm 2$ (minor axis).
Identifique a cônica $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Ambos os termos estão ao quadrado, são positivos e têm coeficientes diferentes.
- Esta é a equação de uma elipse.
- Ela se estende até $x = \pm 3$ (eixo maior) e $y = \pm 2$ (eixo menor).
The conic sections — circle, ellipse, parabola, and hyperbola — are the curves formed by slicing a cone. Each has a distance definition (an ellipse sums distances to two foci) and a signature implicit equation, and most are not functions of $x$.
As seções cônicas — círculo, elipse, parábola e hipérbole — são as curvas formadas pelo corte de um cone. Cada uma tem uma definição de distância (uma elipse soma distâncias a dois focos) e uma equação implícita característica, e a maioria não é função de $x$.