Rolling · Rolamento
A race down a ramp: which wheel wins?
- Roll a solid disk and a hollow ring down the same ramp. They start together — but the disk wins every time.
- A rolling object is doing two things at once: moving forward and spinning.
- Its energy is shared between the two, and the split depends on the shape.
- Understanding that split is the key to rolling motion.
Uma corrida descendo uma rampa: qual roda vence?
- Role um disco sólido e um anel oco pela mesma rampa. Eles começam juntos — mas o disco vence sempre.
- Um objeto rolante está fazendo duas coisas ao mesmo tempo: movendo-se para frente e girando.
- Sua energia é dividida entre as duas, e a divisão depende da forma.
- Entender essa divisão é a chave para o movimento de rolagem.
Two kinds of kinetic energy at once
- A rolling body has translational KE $\tfrac12 mv^2$ and rotational KE $\tfrac12 I\omega^2$.
- Its total kinetic energy is the sum: $E_k = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
- Rolling without slipping links the two through $v = r\omega$.
- Energy released (say from a ramp) must fill both accounts.
Dois tipos de energia cinética ao mesmo tempo
- Um corpo rolante possui energia cinética translacional $\tfrac12 mv^2$ e energia cinética rotacional $\tfrac12 I\omega^2$.
- Sua energia cinética total é a soma: $E_k = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
- Rolagem sem deslizamento liga as duas através de $v = r\omega$.
- A energia liberada (digamos, de uma rampa) deve preencher ambas as contas.
The total kinetic energy of a rolling object is: · A energia cinética total de um objeto rolante é:
A rolling body moves and spins, so its KE is the sum $\tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$. · Um corpo rolante move-se e gira, então sua KE é a soma $\tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
Rolling without slipping links linear and angular speed by $v = r\_\_$ (fill in the symbol). · Rolamento sem deslizar liga velocidade linear e angular via $v = r\_\_$ (preencha o símbolo).
$v = r\omega$ ties how fast it travels to how fast it spins. · $v = r\omega$ liga quão rápido viaja com quão rápido gira.
Why the solid disk wins
- The ring has more rotational inertia, so more of its energy goes into spinning.
- That leaves less energy for moving, so the ring accelerates down the ramp more slowly.
- The solid disk keeps more energy for translation and reaches the bottom first.
- Shape decides the race, not weight — a heavy and light disk of the same shape tie.
Por que o disco sólido vence
- O anel tem mais inércia rotacional, então mais de sua energia vai para girar.
- Isso deixa menos energia para mover-se, então o anel acelera descendo a rampa mais lentamente.
- O disco sólido mantém mais energia para translação e atinge o fundo primeiro.
- A forma decide a corrida, não o peso — um disco pesado e leve da mesma forma empatam.
A solid disk and a hollow ring of the same mass and radius roll down a ramp. Which reaches the bottom first? · Um disco sólido e um anel oco de mesma massa e raio rolam descendo uma rampa. Qual chega primeiro ao fundo?
The ring has more rotational inertia, so more energy goes to spinning, leaving less for moving — the disk wins. · O anel tem mais inércia rotacional, então mais energia vai para o giro, deixando menos para o movimento — o disco vence.
Select all · todos true statements about a body rolling without slipping. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre um corpo rolando sem deslizar.
Rolling combines moving and spinning, obeys $v = r\omega$, and has a momentarily still contact point — but not all · todos rotational. · Rolar combina movimento e rotação, obedece a $v = r\omega$, e tem um ponto de contato momentaneamente parado — mas não toda rotação.
The contact point is momentarily still
- In rolling without slipping, the point touching the ground is instantaneously at rest.
- The centre moves at $v$, and the top of the wheel moves at $2v$.
- Because the contact point doesn't slide, static friction acts — and does no work.
- This is why a rolling wheel loses so little energy compared with a sliding block.
O ponto de contato está momentaneamente parado
- Na rolagem sem deslizamento, o ponto tocando o solo está instantaneamente parado.
- O centro move-se a $v$, e o topo da roda move-se a $2v$.
- Como o ponto de contato não desliza, atua atrito estático — e não realiza trabalho.
- É por isso que uma roda rolante perde tão pouca energia comparada a um bloco deslizante.
Rolling without slipping · Rolamento sem deslizamento
For a wheel that rolls without slipping, v = r omega. Sort each case. · Para uma roda que rola sem deslizar, v = r omega. Classifique cada caso.
For a wheel rolling without slipping, the point touching the ground is momentarily at rest. · Para uma roda rolando sem deslizar, o ponto tocando o solo está momentaneamente parado.
The contact point has zero velocity at that instant; the top moves at $2v$. · O ponto de contato tem velocidade zero naquele instante; o topo move-se a $2v$.
A rolling object's energy is not just $\tfrac12 mv^2$. You must add the rotational part $\tfrac12 I\omega^2$. Forgetting the spin term gives too large a speed at the bottom of a ramp — a very common mistake.
A energia de um objeto rolante não é apenas $\tfrac12 mv^2$. Você deve somar a parte rotacional $\tfrac12 I\omega^2$. Esquecer o termo de rotação resulta em uma velocidade excessivamente alta no fundo da rampa — um erro muito comum.
A solid disk ($I = \tfrac12 mR^2$) rolls without slipping. What fraction of its kinetic energy is rotational? (Give a decimal.) · Um disco sólido ($I = \tfrac12 mR^2$) rola sem deslizar. Que fração de sua energia cinética é rotacional? (Dê um decimal.)
Rotational $= \tfrac14 mv^2$, translational $= \tfrac12 mv^2$; fraction $= \tfrac{1/4}{3/4} = \tfrac13 \approx 0.33$. · Rotacional $= \tfrac14 mv^2$, translacional $= \tfrac12 mv^2$; fração $= \tfrac{1/4}{3/4} = \tfrac13 \approx 0.33$.
A solid disk ($I = \tfrac12 mR^2$) rolls without slipping at speed $v$. What fraction of its kinetic energy is rotational?
- Rotational: $\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12(\tfrac12 mR^2)(v/R)^2 = \tfrac14 mv^2$.
- Translational: $\tfrac12 mv^2$. So rotational is $\tfrac{1/4}{1/4 + 1/2} = \tfrac13$ of the total.
Um disco sólido ($I = \tfrac12 mR^2$) role sem deslizamento a uma velocidade $v$. Que fração de sua energia cinética é rotacional?
- Rotacional: $\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12(\tfrac12 mR^2)(v/R)^2 = \tfrac14 mv^2$.
- Translacional: $\tfrac12 mv^2$. Então rotacional é $\tfrac{1/4}{1/4 + 1/2} = \tfrac13$ do total.
A rolling body has both translational KE $\tfrac12 mv^2$ and rotational KE $\tfrac12 I\omega^2$, linked by $v = r\omega$. Objects with more rotational inertia put more energy into spinning, so they roll down a ramp slower. The contact point is momentarily at rest, so rolling friction does no work.
Um corpo rolante possui energia cinética translacional $\tfrac12 mv^2$ e rotacional $\tfrac12 I\omega^2$, ligados por $v = r\omega$. Objetos com mais inércia rotacional destinam mais energia para girar, então rolam descendo uma rampa mais lentamente. O ponto de contato está momentaneamente parado, então o atrito de rolagem não realiza trabalho.