Escopo e pré-requisitos
Baseado no framework Digital SAT. Estas tarefas impressas não são adaptativas e não predizem uma pontuação escalonada.
- Resolver e classificar equações lineares com uma variável e parâmetros
- Interpretar equações lineares com duas variáveis como conjuntos de pares ordenados
- Interpretar inclinação e intercepto de uma função linear contextualizada
- Classificar sistemas lineares com duas equações e verificar suas interseções
- Representar desigualdades estritas e inclusivas com uma ou duas variáveis
Pré-requisitos: Agrupe termos semelhantes; substitua pares ordenados; aritmética com sinal.
Explicar e escolher o método
Agrupar termos com variáveis e constantes separadamente. Uma equação ax+b=cx+d torna-se (a-c)x=d-b. Se a-c for diferente de zero, há uma solução; se ambos os lados reduzirem a zero, há infinitas soluções; se o coeficiente da variável for zero mas a constante não, não há soluções. Nunca divida por um parâmetro antes de verificar se pode ser zero.
Uma equação com duas variáveis fornece um conjunto de pares ordenados. Em y=mx+b, m é a variação em y por unidade x e b é y em x=0. Para um modelo contextualizado, atribua unidades a ambas: uma taxa C=3t+5 tem uma taxa inicial de 5-unidade e 3 unidades por unidade de tempo. O intercepto pode estar fora do domínio prático mesmo quando existe algebricamente.
Para um sistema, compare ambos os coeficientes e constantes. Multiplicar toda uma equação por um número diferente de zero produz a mesma reta; coeficientes de variáveis iguais com constantes diferentes resultam em retas paralelas distintas. Caso contrário, uma interseção fornece o par que satisfaz ambas as equações. Substitua o par em ambas as equações originais para verificar.
Multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo inverte sua direção. Uma desigualdade estrita exclui a fronteira, enquanto ≤ ou ≥ a inclui. Para duas variáveis, desenhe a reta correspondente e teste um ponto distante dela para identificar o semiplano permitido. O diagrama é uma representação de todas as soluções, não de um único ponto preferencial.
Uma identidade é válida para toda entrada permitida. Comece com $ax+b=cx+d$. Agrupe termos: $(a-c)x=d-b$. Analise $a-c$ antes de dividir. Se $a=c$ e $b=d$, todas as entradas reais funcionam. Se apenas $a=c$, nenhuma entrada funciona. Caso contrário, $x=(d-b)/(a-c)$ fornece uma solução.
*Passos resolvidos: (a-c)x = d-b → a-c = 0: inspecionar d-b → a-c ≠ 0: dividir com segurança
Exemplo resolvido. Para kx+6=2x+6, k=2 resulta em 0=0 e infinitas soluções; k≠2 resulta em x=0. Para -2x+3≤<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. Para y≤2x+1, (0,0) funciona e a fronteira sólida está incluída. O sistema 2x+4y=10 e x+2y=6 não tem solução porque dobrar a segunda equação resulta no mesmo lado esquerdo igual a 12, não 10.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Classifique as soluções de $(p-1)x+3=2x+p$ para cada real $p$.
Raciocínio. Agrupe os termos para obter $(p-3)x=p-3$. Em $p=3$, a equação é $0=0$, portanto todo real $x$ funciona. Em $p\ne3$, divida por $p-3$ para obter $x=1$. Não há valor de $p$ que dê nenhuma solução. A substituição de $x=1$ resulta em $p+2$ em ambos os lados.
Prática 2
Uma taxa de aluguel $C$ yuan tem uma taxa fixa de $f$ yuan e taxa de $r$ yuan por hora. Três horas custam 31 yuan; sete horas custam 59 yuan. Encontre $f,r$ e o maior número inteiro de horas acessíveis com 80 yuan.
Raciocínio. Use $C=f+rt$. As equações são $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ e $59=f+r(7\,\mathrm{h})$. Subtraia: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. Depois $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. Orçamento: $10+7t\le80$, então $t\le10$ horas. Dez horas inteiras são acessíveis; onze custam 87 yuan.
Prática 3
Descreva todos os pontos que satisfazem $y>2x-1$ e $y\le-x+5$. $(2,3)$ está incluído? Indique os possíveis valores de $x$.
Raciocínio. A primeira fronteira é tracejada e a segunda sólida. A região comum está acima da primeira reta e na ou abaixo da segunda. Em $(2,3)$ a primeira condição é $3>3$, o que falha. Para que o intervalo vertical exista, $2x-1<-x+5$, logo $x<2$. As retas encontram-se em $(2,3)$, mas seu ponto de encontro é excluído.
Limites e próximo uso
Não confunda x=0 com um coeficiente de variável anulado, inverta apenas ao multiplicar/dividir por um negativo, ou sombre um semiplano baseado apenas na inclinação da linha.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.