S3 · Statistics 3

Estatística 3 (S3, prova WST03/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos, primeira avaliação junho 2020) é a unidade final de estatística: S1–S2 são pressupostas. O booklet contém as tabelas Normal e qui-quadrado, além dos valores críticos de Spearman. Esta referência cobre combinações de variáveis Normais, métodos de amostragem, estimadores e a distribuição da média amostral, intervalos de confiança e testes de hipótese para médias (uma e duas amostras), ajuste de boa qualidade e tabelas de contingência, e correlação de postos com seu teste.

Conceitos essenciais para S3 (não presentes no booklet):

Variáveis Normais independentes combinam-se numa Normal: some as médias, some os coeficientes ao quadrado vezes as varianças. Para $3S$ onde $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — a média triplica, mas a variância multiplica por nove. Diferenças funcionam da mesma forma: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, e $P(|C_1 - C_2| > c)$ é o dobro da cauda única probabilidade por simetria.

Exemplo resolvido (WST03 Junho 2025 Q8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ independentemente (kg). (a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (dp 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) Com $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, o evento $T < 30P_1 + 190$ reorganiza-se para $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — uma Normal com média $504 + 125 - 435 = 194$ e variância $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, logo $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

A amostra aleatória simples dá a cada membro (e a cada amostra de tamanho $n$) uma chance igual; use números aleatórios em uma lista de amostragem. Amostragem sistemática toma cada $x$º membro a partir de um início aleatório — para 20 de 360, $x = 18$; ela funciona bem em listas ordenadas e remove viés do selecionador, mas membros no mesmo trecho podem nunca aparecem juntos (os espaçamentos estão bloqueados). Amostragem estratificada divide por estratos e amostra cada um proporcionalmente — ideal quando os grupos diferem internamente. Amostragem por quotas preenche quotas definidas pelo entrevistador sem uma lista de base — barata, mas vulnerável a viés do entrevistador. Cite uma vantagem e uma desvantagem de cada método.

Uma estatística não contém parâmetros populacionais desconhecidos. Um estimador é não tendencioso se sua esperança for igual ao parâmetro; seu viés é a diferença: $\bar X$ para $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ para $\sigma^2$ (o $n-1$ é a correção). O viés tem sinal e magnitude de $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$. A média amostral satisfaz $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: amostras maiores reduzem o erro padrão $\sigma/\sqrt n$.

Exemplo resolvido (WST03 Junho 2025 Q6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, logo $R$ é tendencioso com vieses $\tfrac\mu4$. Dado $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ e $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ ambos não tendenciosos: as esperanças imporão $a - b = 2$ e $14a + 6b = 20$, logo $a = 1.6$, $b = -0.4$.

Exemplo resolvido — recuperação de parâmetros (WST03 Junho 2025 Q7). Dado $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ e $P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: os valores-z são $-0.4$ e $2.1$, logo $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ e $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) e $\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; então $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

Um intervalo de confiança para $\mu$ (variância conhecida) é $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ com $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (um-taila 95% crítico), $2.5758$ (99%). Interpretação: o procedimento captura $\mu$ em 95% das amostras — não "a probabilidade de que μ esteja dentro é 0.95". A estatística de teste $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; quando a variância é desconhecida e $n$ é grande, substitua por $s$ (o Teorema do Limite Central também autoriza populações não-Normais quando $n$ é grande). As conclusões expressam a evidência no contexto.

Exemplo resolvido — duas amostras com lacuna (WST03 junho 2025 Q4). Esquilos cinzentos ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) e vermelhos ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, resultando em $\bar y = 290$ e $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ em 5%:

logo rejeitamos H₀ — a média cinzenta é mais de 200 g acima da vermelha. O pressuposto de substituição de variância ($\sigma^2 = s^2$ para cada população) é o que autoriza a fórmula.

Ajuste de bondade compara contagens observadas com as esperadas por um modelo: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. Graus de liberdade = (células − 1) − (parâmetros estimados a partir dos dados): uma binomial com p̂ estimado perde mais um. Combine células de cauda cujas frequências esperadas estejam abaixo de 5 antes de qualquer outra coisa. Tabelas de contingência testam associação entre duas classificações com $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ e $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

Exemplo resolvido — ajuste binomial (WST03 junho 2025 Q5). Machos em 250 ninhadas de 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, resultando em esperado com $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$, então, com o $r$ dado para o restante, $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, logo com os dados $\sum = 5.70$ para o restante, $X^2 = 10.95$ sobre graus de liberdade $6 - 1 - 1 = 4$; o valor crítico de 5% 9.488 é excedido — rejeitar: a distribuição binomial não é um modelo adequado.

Exemplo resolvido — associação (WST03 junho 2025 Q3). Tipo de motor × início do primeiro problema temporização (250 carros, 3×3): a célula diesel/mês 1–6 tem $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; com 7.444 para as outras oito células, $X^2 = 12.325 > 9.488$ sobre 4 gl — evidência de associação entre tipo de motor e quando os problemas começam.

O coeficiente de correlação de postos de Spearman mede a concordância monótona entre duas classificações; teste $\text{H}_0\colon\rho = 0$ contra a tabela e conclua em palavras sobre as classificações.

Coeficiente de correlação de postos de Spearman ordenações (sem empates analisados). Teste $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ contra alternativas de uma ou duas caudas usando a tabela de valores críticos; conclua no contexto ("insuficiente") classificações (sem empates analisados). Teste $\text{H}_0\colon \rho = 0$ contra alternativas unilaterais ou bilaterais usando a tabela de valores críticos; conclua no contexto ("evidência insuficiente evidência de concordância positiva entre os juízes).

Exemplo resolvido (WST03 Junho 2025 Q2). Dois juízes classificam 10 apresentações: o ranking um-sided, o valor crítico é $\sum d^2 = 66$: $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$, portanto não rejeitar H1 — nível unilateral, o valor crítico é 0.7455: $0.6 < 0.7455$, portanto não rejeite H₀ — evidência insuficiente de correlação positiva entre as classificações dos juízes.

• Combine Normais independentes (coeficientes quadrados sobre variâncias); lide com diferenças e |diferenças| por simetria.
• Verificar estatísticas para parâmetros, calcular esperanças para viés, resolver equações de estimadores pareados não viciados.
• Usar EP σ/√n; recuperar (μ, σ) a partir de duas probabilidades de média amostral; calcular probabilidades para X̄.
• Construir e interpretar intervalos de confiança baseados em z; realizar testes de uma e duas amostras com substituição de variância e TCL enunciado.
• Construa e interprete intervalos de confiança baseados em z; realize testes de uma e duas amostras com substituição de variância e CLT declarada.
• Calcule frequências esperadas (modelo ou contingency), combine células baixas, subtraia parâmetros estimados do gl, compare com a tabela χ².
• Calcule rₛ de Spearman a partir de rankings e teste contra a tabela com hipóteses expressas em símbolos e conclusão em palavras.