Estatística 2: distribuições, variáveis contínuas e testes de hipótese
Estatística 2 (S2, prova WST02/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos, primeira avaliação junho 2020) segue S1 na rota aplicada: P1–P2 e S1 são assumidos. O booklet contém tabelas de binomial, Poisson e Normal. Esta referência cobre as distribuições binomial e Poisson com suas aproximações, variáveis aleatórias contínuas, distribuição uniforme, amostragem e procedimento completo de teste de hipóteses.
Conceito obrigatório para S2 (não no booklet):
| Família | Fórmulas |
|---|---|
| binomial | $X\sim B(n, p)$: $E(X) = np$, $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$, $P(X = r) = \binom nr p^r(1-p)^{n-r}$ |
| Poisson | $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$; as taxas escalam com o tempo |
| contínua | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $f(x) = F'(x)$, $E(X) = \int xf(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f(x)\,dx$ |
| uniforme | em $[a, b]$: média $\tfrac{a+b}2$, variância $\tfrac{(b-a)^2}{12}$, densidade $\tfrac1{b-a}$ |
As distribuições binomial e de Poisson
Distribuição binomial: $n$ ensaios independentes, probabilidade constante $p$ — as duas suposições a serem enunciadas no contexto. Distribuição de Poisson: os eventos ocorrem individualmente, independentemente, a uma taxa média constante — a taxa escala ($\mathrm{Po}(\lambda)$ por minuto resulta em $\mathrm{Po}(5\lambda)$ em 5 minutos). Momentos são fornecidos por fórmulas: $np$ e $np(1-p)$; $\lambda$ e $\lambda$. Dada a média e a variância de uma binomial, resolva simultaneamente para $n$ e $p$. A aproximação de Poisson para a binomial exige $n$ grande e $p$ pequena (use $\lambda = np$).
Worked example — moments then approximations (WST02 June 2025 Q3). Blue sweets per small bag have mean 3 and variance 2.55: $np = 3$ and $np(1-p) = 2.55$ give $1 - p = 0.85$, so $p = 0.15$ and $n = 20$. A medium bag of 40 with 20% green: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, and $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. A large bag of 80 with 10% yellow: with $n = 80$ Uma variável aleatória contínua possui uma função de densidade de probabilidade $p = 0.1$ com área total $X\approx\mathrm{Po}(8)$ e $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$ em todo ponto; a função de distribuição acumulada
Variáveis aleatórias contínuas
$f$ satisfaz 1 e $P(X = x) = 0$. Densidades definidas por partes: $F(x) = P(X \le x)$ satisfaz $f = F'$ e $F(a) = \int_{-\infty}^a f$. Densidades por partes: normalizar $\int f = 1$ (que fixa a constante desconhecida), depois ler a mediana ($F = \tfrac12$), os quartis e a moda no pico de $f$ (defina $f' = 0$ ou inspecione os cantos). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; assimetria compara média, mediana e moda.
![Esquerda: a FDC F(x) = (6x^2 - x^4)/5 em [0, 1] crescendo de 0 para 1 com a mediana marcada em F = 1/2 (x = 0.671). Direita: a densidade f(x) = (12x - 4x^3)/5 com a moda em x = 1 e a área além de x = 0.6 sombreada (0.594).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-cdf-pdf.png?v=1792758424)
Exemplo resolvido — uma FDC resolvida passo a passo (WST02 Junho 2025 Q1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ sobre [0, 1]: $F(1) = 1$ resulta em $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. A mediana: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, isto é, $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, logo $m = 0.671$. A moda: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ e $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ resulta em $x = 1$ (rejeite $-1$, fora do suporte). Assimetria: média $0.64 <$ mediana $0.671 <$ moda $1$ — assimetria negativa.
![Esquerda: uma pdf triangular subindo ao longo de 2x/21 de 0 até k = 3.5 e depois descendo ao longo de 2(6-x)/15 até x = 6, valor máximo 1/3 marcado. Direita: a densidade uniforme em [-2, 14] na altura 1/16 com o intervalo [8, 14] sombreado (área 3/8).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-triangular-pdf.png?v=1792133600)
Exemplo resolvido — uma pdf linear por partes, sem calculadora (WST02 Junho 2025 Q5). Com $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ em $[0, k]$ e $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ em $(k, 6]$: normalizando,
logo $k = 3.5$ (a pdf é contínua ali, ambas as partes iguais a $\tfrac13$). Então $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, e com $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ dado, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.
A distribuição uniforme contínua
A distribuição uniforme contínua em $[a, b]$ Uniforme em $[a, b]$: densidade $\tfrac1{b-a}$, CDF linear, média $\tfrac{a+b}2$, variância $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Dois fatos determinam $a$ e $b$ (uma probabilidade de intervalo fornece $b - a$; a média fornece $a + b$). Escalas codificam a média; probabilidades são comprimentos sobre $b - a$.
Exemplo resolvido — uniforme em um intervalo largo (WST02 junho 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ também se encaixa — mas mantenha uma raiz para toda a questão). $E(cX + 1) = 3$ fornece $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.
Populações, amostras e estatísticas
Um censo mede todos (completo, mas custoso, lento, possivelmente destrutivo); uma sample measures part (cheaper, faster, but with sampling error). The sampling frame lists the sampling units. A statistic is a function of the sample values only (no unknown parameters) — $\bar X$ is, $\bar X - \mu$ is not; its distribution over repeated samples is the sampling distribution.
Worked example — a sampling distribution (WST02 June 2025 Q4). Three beads from a 2:5 black:white bag, scoring 4 per black and 1 per white: with $P(\text{black}) = \tfrac27$, the score $X$ takes 3, 6, 9, 12 with probabilities $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ counts 9 precisa de $n$, logo $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$. $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$, com a correção de continuidade (pelo menos $n > 15.6$ significa $n = 16$).
Testes de hipótese
Um teste de hipótese compara dados contra um modelo nulo.
Enuncie a hipótese nula $H_0$ (sem mudança, o parâmetro citado) e $H_1$ (cauda única ou dupla conforme solicitado). Encontre a região crítica no nível declarado acumulando probabilidades das caudas até ultrapassar $\alpha$; reporte o nível de significância real como a probabilidade total da cauda. Testes de cauda única tests put the whole level in one tail; two-tailed split it. Conclude IN CONTEXT: "insufficient evidence that … has changed". Normal approximations to the binomial: mean $np$, variance $np(1-p)$, with the continuity correction (at least $t$ means $t - 0.5$).
02 mas 2025 — região crítica 2 ou 20, after alterations one 30-minute interval is watched: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$ mas 3 — região crítica $P(X \le 3) = 0.0103$ ou $P(X \le 4) = 0.0293$, Exemplo resolvido — teste binomial com média Normal (WST$P(X \ge 17) = 0.0270$ junho $P(X \ge 18) = 0.0143$ Q$X \le 3$). $X \ge 18$% actual level $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. The observed 16 lies outside → do not reject $H_0$.
Worked example — binomial test with a Normal middle (WST02 June 2025 Q7). 30% of os clientes contratam seguros; uma amostra de 40 resulta em $X\sim B(40, 0.3)$. Maior $r$ com $P(X < r) < 0.05$ (menos que $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$, mas $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Para 200 clientes, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ significa $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, logo $t = 50$. Após uma oferta especial, 11 de 25 compram: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, portanto rejeite $H_0$ — evidência de que a proporção aumentou.
Lista de verificação antes de considerar esta unidade concluída
- Enuncie as suposições binomial/Poisson no contexto; resolva pares média/variança para $n$, $p$; escalone taxas Poisson com o tempo.
- Normalize densidades por partes (constantes, quadrado perfeito k); diferencie F para f; encontre mediana/quantis a partir de F, moda de f' ou vértices; calcule E(X), E(X²), Var; leia a assimetria pela relação média-medianamoda.
- Cite e derive as propriedades da uniforme; determine a e b a partir de um intervalo mais a média; mantenha probabilidades como comprimentos.
- Distinga censo versus amostra com prós e contras; reconheça estatísticas; construa pequenas distribuições amostrais por enumeração; modele contagens com B(n, p) para análises subsequentes.
- Realize testes unilaterais e bilaterais: hipóteses em símbolos e palavras, região crítica por acumulação, nível de significância real, conclusão contextualizada; aproximação Normal com correção de continuidade quando n for grande.