FP1 · Further Pure Mathematics 1

Matemática Pura Avançada 1 (FP1, prova WFM01/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos) é obrigatória para International AS and A Level Further Mathematics e para International AS and A Level Pure Mathematics. P1–P2 são pressupostos e podem ser cobrados, incluindo localização de mudança de sinal de raízes, rotação de formas em torno da origem e divisão de um polinômio cúbico ou quártico por um quadrático. Esta referência cobre números complexos, raízes de equações quadráticas, métodos numéricos, a parábola e hipérbole retangular, álgebra de matrizes, transformações, séries finitas e demonstração por indução.

Essencial para FP1 (não no booklet):

Um número complexo é $z = a + bi$ com $i^2 = -1$; $a$ é a parte real, $b$ a parte imaginária. O conjugado $\bar z = a - bi$ inverte o sinal da parte imaginária, e $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — o truque que torna o denominador real: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. Dois números complexos são iguais apenas quando ambas as partes reais e imaginárias coincidem. A forma polar $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ pares o módulo $r$ com o argumento (definido apenas quando $z\ne0$) $\theta$; multiplicar números complexos multiplica seus módulos ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

Exemplo resolvido — uma soma real fixa a parte imaginária. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ com $r > 0$, e $z_2$ tem módulo 5. Como $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, obtemos $r = 3$. Logo $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. Se $z_1 + z_2$ for real, sua parte imaginária é zero, logo $z_2 = a + \tfrac32 i$; então $a^2 + \tfrac94 = 25$ resulta em $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. Tanto $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ quanto seu reflexo no eixo imaginário são válidos.

Em um diagrama de Argand (diagrama de Argand), represente $z = a + bi$ como o ponto $(a, b)$: a adição é a adição vetorial, o conjugado reflete no eixo real, e $\lvert z\rvert$ é a distância à origem.

Para uma quadrática com coeficientes reais e discriminante negativo, complete o quadrado: $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ resulta em $x = 3 \pm 2i$. As raízes formam um par conjugado — e isso se mantém no grau: se $f(z_1) = 0$ para coeficientes reais, então $f(\bar z_1) = 0$ também. Assim, um cúbico real tem três raízes reais ou uma raiz real mais um par conjugado, e $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ é um fator quadrático real. Divida-o para encontrar o resto.

Exemplo resolvido — um quartic com uma raiz complexa dada (WFM01 Junho 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ tem raiz $3 + 5i$, logo $3 - 5i$ também é raiz e

Escrevendo $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ e comparando: $34c = 68$ assim $c = 2$; $-6c + 34b = 192$ logo $34b = 204$, $b = 6$; então $b - 6P = -36$ resulta em $P = 7$ e $c - 6b + 34P = Q$ resulta em $Q = 204$. (Verifique contra $f(3+5i) = 0$: a equação real $644P + 16Q = 7772$ vale, já que $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) As outras raízes resolvem $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

Sem calculadora: apenas aritmética de $b^2 - 4ac < 0$ e o fato dos conjugados são usados.

Para $ax^2 + bx + c = 0$ com raízes $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ e $\alpha\beta = \tfrac ca$. Expressões simétricas em $\alpha, \beta$ não exigem cálculo individual raízes: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ e $\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. Para construir um novo quadrático, expresse a nova soma e produto em termos dos antigos; a equação é $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Exemplo resolvido — novas raízes sem resolver (WFM01 Junho 2025 Q6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ possui raízes $\alpha, \beta$, logo $\alpha\beta = -\tfrac53$. Se $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, então $-\tfrac k3 = -15$, logo $k = 45$ e $\alpha + \beta = -15$. Para as raízes $\alpha^2 + \beta$ e $\alpha + \beta^2$:

A nova equação é $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (multiplique $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ por 9).

Três localizadores iterativos: bisseção e interpolação precisam de uma função contínua em seu intervalo; Newton–Raphson também precisa de uma derivada definida e não nula em cada passo e pode falhar em convergir. bissecção de intervalo divide ao meio um intervalo com mudança de sinal; interpolacao linear traça cordas de $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ e toma o zero da corda $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; o método de Newton–Raphson

• (fórmula fornecida no folheto) itera $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Mostre cada avaliação — respostas "apenas calculadora" não pontuam.

Exemplo resolvido — bissecção e interpolacao (WFM01 Junho 2025 Q3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ tem uma única raiz $\alpha$ em $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, logo divida ao meio: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. A mudança de sinal está em $[0, 0.25]$. (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (radianos): $g(4) = 2.396 > 0$ e $g(5) = -0.502 < 0$, e $g$ é contínuo, logo uma raiz $\beta$ está em $[4, 5]$. Interpolando uma vez: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

Newton–Raphson (exemplo original). Resolva $x^3 - 2x - 5 = 0$ partindo de $x_0 = 2$: $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$ para $f'(2) = 10$ e $x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; logo $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. As iterações aproximam-se da raiz, aproximadamente $2.09455$ (verifique: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

A parábola $y^2 = 4ax$ tem forma paramétrica $x = at^2$, $y = 2at$; a hipérbole retangular $xy = c^2$ tem $x = ct$, $y = \tfrac ct$. Tangentes e normais derivam da diferenciação da equação cartesiana (diferenciação paramétrica não é necessária): $y^2 = 4ax$ resulta em $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ no parâmetro $t$, e $xy = c^2$ resulta em $y = \tfrac{c^2}x$ logo $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ em $x = ct$.

Exemplo resolvido — normal a uma hipérbole (WFM01 Junho 2025 Q4). Para $xy = 81$ em $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, logo a normal tem declive $t^2$:

No eixo-$y$, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. Com $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ e $A = (0, \tfrac{80}3)$, então o triângulo $OPA$ tem área $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

A parábola é o lugar geométrico de pontos equidistantes do foco $(a, 0)$ e da diretriz $x = -a$. Distâncias, não álgebra, desbloqueiam as questões de geometria.

Exemplo resolvido — distâncias foco-diretriz (WFM01 Junho 2025 Q9). $P$ está na parábola 5 unidades do foco, logo $P$ também está 5 unidades da diretriz ($PF = PM = 5$, com $PM$ perpendicular à diretriz). Pontos $Q, R$ na diretriz satisfazem $PQ = PR = 10$. Cada triângulo retângulo $PQM$ dá $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, e $M$ está entre $Q$ e $R$, logo $QR = 10\sqrt3$.

Matrizes somam entrada por entrada (mesma forma), escalam entrada por entrada e multiplicam linha por coluna ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ em geral). Para matrizes $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: zero significa singular (sem inversa); caso contrário $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, e $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. Inversas invertem a ordem: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — desfazer primeiro a última transformação.

Exemplo resolvido — uma inversa que deve permanecer consistente (WFM01 junho 2025 Q1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ com $a \ne -\tfrac53$:

Dado $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, comparar entradas: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ dá $5 + 3a = \tfrac12$, e toda outra entrada confirma isso, logo $a = -\tfrac32$.

Uma matriz $2\times 2$ $\mathbf M$ transforma vetores-coluna por $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; suas colunas são as imagens de $\mathbf i$ e $\mathbf j$ — leia qualquer transformação diretamente na matriz. Os resultados padrão: fora da matriz. Os resultados padrão:

For combinations, $\mathbf{AB}$ means "apply $\mathbf B$ first, then $\mathbf A$". The inverse transformation undoes it, and $\lvert\det\mathbf M\rvert$ is the area scale factor: areas multiply by the determinant (negative determinants add a reflection).

01: rotação de um quarto no sentido horário (2025° anti-horário) em torno de 2. $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ maps $\mathbf i \to (0,-1)^T$ and $\mathbf j \to (1,0)^T$: a quarter-turn clockwise (270° anticlockwise) about $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ is an enlargement, scale factor 5, centre $O$. Reflection in $y = -x$ is $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, so $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. If $\mathbf Q$ follows $\mathbf P$ and maps $B$ to $A$, then $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — $\mathbf P$'s own inverse is its transpose, so this is arithmetic only.

With $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (and $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ from the booklet), any polynomial summand splits into standard pieces — including sums to an even limit $2n$ (substitute $k = 2n$ into the standard formulae) and shifted sums like $\sum (r+1)^2$.

Worked example — a sum to 2n (WFM01 June 2025 Q8a). Show $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

and $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, so the sum is $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (Check $n = 1$: $1 + 7 = 8$ and $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

Indução prova uma afirmação $P(n)$ para todos os inteiros positivos em três passos: verifique $P(1)$; assuma $P(k)$; deduza $P(k+1)$ a partir dela — então conclua com "verdadeiro para $n = 1$", e a verdade de $n = k$ implica a verdade de $n = k+1$, logo, por indução, verdadeiro para todos os inteiros positivos $n$". A frase final faz parte da prova. Quatro famílias avaliadas: fórmulas de soma, divisibilidade, sequências definidas por recorrência e potências de matrizes.

Exemplo resolvido — soma (WFM01 Junho 2025 Q8b). Prove $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. Para $n = 1$: LHS $= 1\cdot1^2 = 1$ e RHS $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — verdadeiro. Assuma verdadeiro para $n = k$; o $(k+1)$-ésimo termo é $(k+1)(3k+1)^2$, portanto

Expand the bracket: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. The target for $n = k+1$ é $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, e seu parêntese $(k+1)(k+2)(9k+2)$ desenvolve-se como $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — idêntico. Então a afirmação vale para $n = k+1$, e por indução para todos os inteiros positivos $n$.

Divisibilidade (exemplo original). Prove que $n^3 + 2n$ é divisível por 3. Para $n = 1$: $3$. Assuma $k^3 + 2k = 3m$; então $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, ainda um múltiplo de 3. Por indução, verdadeiro para todos $n$.

Potências de matrizes (exemplo original). Prove $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Verdadeiro para $n = 1$. Se verdadeiro para $k$, então $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, completando a indução.

• Trabalhe com $a + bi$ e $r(\cos\theta + i\sin\theta)$: módulo, argumento, conjugado; quocientes tornados reais.
• Use pares conjugados para fatorar polinômios cúbicos e quarticos com coeficientes reais; encontre todas as raízes sem calculadora.
• Converta expressões simétricas via $\alpha + \beta$ e $\alpha\beta$; forme novos quadráticos para raízes transformadas.
• Localize raízes por bisseção e interpolação linear mostrando cada avaliação; itere Newton-Raphson a partir de um ponto inicial dado.
• Use parametrizações $y^2 = 4ax$ e $xy = c^2$; tangentes/normais via diferenciação cartesiana; distâncias foco-diretriz.
• Inverta matrizes $2\times2$ (e $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); resolva equações matriciais entrada por entrada.
• Identifique reflexões, rotações, alongamentos e ampliações a partir de matrizes; combine na ordem correta; use $|\det|$ como fator de escala de área.
• Some séries até $n$ e $2n$ com as fórmulas padrão; prove séries, divisibilidade, recorrência e resultados matriciais por indução com uma afirmação final.