미분과 정지점 · 확장
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 도함수 |
한 점에서의 기울기는 무엇인가?
- 곡선 도로의 각 위치마다 기울기는 다르다. 평균 경사도로 모든 점을 설명할 수 없다.
- 이 수업에서는 미분을 다룹니다. 순간 변화율, 즉 접선의 기울기입니다.
수학적 구조 선택하기
- 다항식 항 ax^n (n은 음이 아닌 정수)의 경우, 미분 항은 anx^(n-1)입니다. 미분된 항들을 더하십시오. 정지점은 기울기가 0인 점입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
x=0에서 곡선 y=x³의 dy/dx=0입니다. 왜 이것이 극대값이나 극소값이 아닐까요?
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도함수 3x²가 x=0 양변에서 양수이므로, 이 점은 정지점이지만 함수는 계속 증가합니다 - 변곡점입니다. 분류에는 부호 변화나 이계도함수가 필요하며, 단순히 dy/dx=0만으로는 충분하지 않습니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
y=x³-3x인 경우, dy/dx=3x²-3입니다. x=1일 때 기울기는 0이고 y=-2입니다. 이차 도함수는 6x로, x=1에서 양수이므로 이는 국소 최소점입니다. x=-1일 때 y=2이며 이차 도함수는 음수이므로 국소 최대점을 줍니다.
미분과 정지점(정지점)
비음의 정수 n인 다항식 항 ax^n에 대해, 미분항은 anx^(n-1)입니다.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
y=x³-3x인 곡선에서 x=2일 때 dy/dx를 구하시오.
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dy/dx=3x²-3. x=2일 때, 이는 12-3=9입니다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 도함수가 0이라는 것이 항상 극대 또는 극소를 의미하지는 않습니다: y=x³은 0에서 정지하지만 계속 증가합니다. 또한, 제한된 정의역에서 끝점이 극값을 생성할 수도 있습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
도함수가 0인 모든 점은 국소 극대 또는 극소입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.
x=1인 정지점의 y좌표를 구하시오.
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원래 곡선에 대입: y(1)=1-3=-2.
미분값이 0인 모든 점은 국소 최댓값 또는 최솟값입니다.
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미분값이 0이라는 것이 반드시 최댓값이나 최솟값을 의미하지는 않습니다: y=x³은 0에서 정지하지만 계속 증가합니다. 또한, 제한된 정의역에서 끝점은 극값을 만들기도 합니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 이 고등급 IGCSE 수업은 다항식 미분, 접선 기울기 및 정지점에만 국한됩니다. 연쇄, 곱셈, 나눗셈 및 암묵적 미분은 제외됩니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
y=4x³인 곡선에서 x=2일 때 dy/dx를 구하시오.
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미분함수는 12x²이며, 2에서의 값은 12×4=48입니다.
각 도함수 사실을 해당 서술과 매칭하십시오.
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거듭제곱 법칙은 지수를 1 낮추며, 제로인 일계도함수는 후보를 나타내지만, 이를 분류하기 위해서는 이계도함수 또는 부호 확인이 필요합니다.
과정에 활용하십시오
- 9260 · 확장 · 3.2. 확장 과제를 배정하기 전에 목표 등급과 규격을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
순간 변화율, 즉 접선의 기울기입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.