수학: 증명이 예제보다 더 많은 것을 증명하는 이유는 무엇인가?
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | 추측 |
| proof/pruːf/ | 증명 |
| induction/ɪnˈdʌkʃn/ | 수학적 귀납법 |
패턴이 계속될 것처럼 보인다
- 첫 번째 홀수는 1이며, 첫 두 개의 합은 4이고, 첫 세 개의 합은 9입니다. 한 학생이 첫 n개 양의 홀수의 합은 항상 n²이라고 주장합니다.
- 추측은 근거가 요구되는 제안된 명제입니다. 세 가지 경우를 확인하는 것은 패턴을 시사하지만, 무한히 많은 양의 정수를 확인하지는 못합니다.
주장을 그 영역과 함께 제시하기
- 이 주장은 모든 양의 정수 n과 ⟨1, 3, 5, …, 2n−1⟩ 나열에 관한 것입니다. 임의의 홀수 집합에 관한 것이 아닙니다.
- 증명은 명시된 영역 전체를 덮는 유효한 이유의 연쇄를 제공합니다. 하나의 반례로 전역적 주장을 무효화할 수 있지만, 수많은 성공적인 예시만으로 이를 스스로 증명하지는 못합니다.
합 1, 4 및 9은 그 자체로 무엇을 증명하는가?
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유한한 관측은 전체 영역을 덮지 못한다.
다음 경우가 어떻게 도출되는지 설명하기
- 첫 n개 양의 홀수의 합이 n²이라고 가정해 봅시다. 다음 홀수는 2n+1이므로, 다음 합은 n²+2n+1=(n+1)²가 됩니다. 이 과정은 모든 양의 정수 n에 적용됩니다.
- 시작 사례는 n=1일 때이며, 이때의 합은 1=1²입니다.そこから 시작하여 일반 단계를 적용함으로써 모든 후속 양의 정수 사례를 확립할 수 있습니다.
2n−1 다음에 오는 홀수는 무엇인가?
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연속된 홀수 간의 차이는 2이다.
추론이 전제로 하는 것을 확인하기
- 이는 귀납법입니다: 유효한 시작 사례와 임의의 사례에서 다음 사례로 이어지는 단계가 모두 필요합니다. 두 요소가 모두 중요합니다. 단계만으로는 사슬이 어디에서 시작되는지 입증할 수 없습니다.
- 대수, 다음 항의 정의 및 도메인이 정확한지 물어보세요. 계산 오류나 시작 순열의 변경은 논증의 타당성을 무효화할 수 있습니다.
시작 경우가 설정되지 않았더라도 유효한 귀납 단계만으로 충분하다.
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일반적인 전이는 사슬이 시작할 수 있는 설정된 경우를 필요로 한다.
왜 합 3+5+7=15는 반례가 아닌가?
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이 목록은 주장에 명시된 것과 다릅니다
증명과 관찰을 공평하게 비교하기
- 신뢰의 이유는 검증된 예시의 개수가 아니라 일반적인 연결 고리입니다. 몇 개의 제곱수의 도형은 아이디어를 설명할 수 있지만, 논증은 그 구성이 어떻게 확장되는지를 보여줘야 합니다.
- 수학적 근거가 반복된 관찰을 확인하는 것과 어떻게 다른지 물어보세요. 증명이 가정의 범위를 벗어난 주장을 확정한다는 것을 추론하거나, 실증적 테스트가 자체적인 분야에서 가치를 가지지 않는다고 assumption하지 마십시오.
증명의 각 부분을 그 역할과 매칭하십시오
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증명은 시작, 전이 및 영역을 연결해야 합니다
어떤 근거가 보편적 주장을 지지합니까?
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일반적인 추론과 유효한 시작은 영역을 확립합니다
n=1일 때, 합은 1입니다. 합이 ⟨2⟩n−1까지 n²라고 가정합니다. 여기에 2n+1를 더하면 n²+2n+1가 되며, 이는 (n+1)²과 같습니다. 기본 사례와 일반적인 전환은 모든 양의 정수에 대한 주장을 확립합니다. 목록 3,5,7의 합은 15이지 9가 아닙니다. 왜냐하면 이 목록은 1에서 시작하지 않기 때문입니다. 다른 목록은 원래 주장의 범위를 벗어나며, 반례도 아닙니다.
n=100에 대한 성공적인 계산기 검사를 일반적인 전환의 대체재로 사용하지 마십시오. 그것은 한 가지 추가 사례를 확인할 뿐입니다.
도메인을 명시하고, 시작 사례를 정당화하며, 유효한 일반 단계를 확립하십시오. 결과적으로 증명하는 범위를 정확히 설명하십시오.