집합, 코셋 및 이분사
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| coset/ˈkɒset/ | 배집 |
| normal subgroup/ˈnɔːml ˈsʌbɡruːp/ | 정규 부분군 |
답에 앞서 결정하기
- 시계의 12개 위치를 시간 더하기 규칙을 잃지 않고 세 개의 클래스로 묶을 수 있습니다. 어떤 위치들이 동치여야 합니까?
- 당신의 목표: 군 구조를 검증하고 원소의 순환과 부분군의 색인을 계산하는 것입니다.
관계 파악하기
- 순환을 계산하기 전에, 명시된 연산 아래에서 폐합, 결합법칙, 항등원, 그리고 각 원소에 대한 역원이 있는지 확인해야 합니다. 부분집합은 결합법칙을 물려받을 수 있으나 폐합이 실패하거나 항등원을 누락할 수 있습니다. 유한군에서 원소의 순환은 항등원을 만드는 최소 양수 지수입니다. 가법군 Z/nZ에서는 0을 만드는 최소 양수 배수이며, 잔차 a의 순환은 n/gcd(a,n)입니다. 라그랑주 정리는 부분군의 순환이 군의 순환을 나눈다고 말하지만, 역은 일반적 존재 정리가 아니며, 군의 순환은 각 원소의 순환과 동일하지 않습니다.
- 커널과 이미지를 사용하여 준군을 식별하십시오.
What is the order of 8 in the additive group Z/20Z?
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The least positive k with 8k divisible by 20 is 5; equivalently 20/gcd(8,20)=5.
정의 규칙 활용하기
- 좌좌식 gH는 부분군 H의 평행이동입니다. 좌좌식은 크기가 같으며 군을 분할하므로, 유한군에서 색인은 |G|/|H|입니다. 가법군에서는 g+H로 씁니다. 같은 좌좌식에 속한다는 것은 차이가 H에 있음을 의미합니다. 좌좌식은 일반적으로 항등원을 누락할 수 있으므로 자체로 부분군이 아닙니다.
- 정규부분군과 임의의 부분군을 구분하십시오.
A homomorphism from a finite group of order 30 has kernel of order 5. How many elements are in its image?
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Fibres are kernel cosets of size 5, so the image has 30/5=6 elements regardless of the codomain size.
조건 확인
- 동형사상은 연산을 보존합니다. 커널은 항등원으로 보낸 원소들의 집합이며, 이미지는 실제로 도달한 값들의 집합입니다. 모든 커널은 정규입니다. 첫 번째 등각 정리는 G/ker(phi)를 im(phi)와 동일시합니다. 사상이 전사(onto)가 아닌 이상 이미지를 전체 공역으로 대체하지 마십시오.
- 순열의 등가류를 순환 유형에 따라 분류하십시오.
Z/12Z에서 Z/3Z로 잔차를 3에 대해 줄여 정의되는 phi를 정의하십시오. 이는 전사이며 덧셈을 보존합니다. 커널 H는 {0,3,6,9}이므로 |H|=4이고 색인은 12/4=3입니다. 다른 좌좌식은 {1,4,7,10}와 {2,5,8,11}입니다. 따라서 (Z/12Z)/H는 Z/3Z와 등각입니다. 원래 군의 원소 3의 순환은 12/gcd(3,12)=4이며, 3가 아닙니다.
The permutation (1 2 3)(4 5) has order ____.
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Disjoint cycles require a multiple of both 3 and 2 steps; lcm(3,2)=6.
문제 형식 적용하기
- 준곱연산은 H가 정규일 때만 잘 정의됩니다. 아벨군의 모든 부분군은 정규입니다. 비아벨군에서는 gHg^−1=H를 테스트하십시오. 색인이 2인 부분군은 정규입니다. 순열에서는 명시된 규약에 따라 composition하며, 여기서는 가장 오른쪽을 먼저 적용합니다. 불교차 순환 길이는 최소공배수를 통해 순열의 순환을 결정합니다. 등가 hσh⁻¹는 σ의 순환에 있는 요소들을 재표기하므로, 순환 길이를 보존합니다. 반대로, 같은 순환 길이를 가진 순열들은 재표기를 통해 서로 연결될 수 있습니다. 따라서 S_n에서의 등가류는 고정점 순환을 포함한 n의 분할에 대응합니다. S4에서 유형은 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 및 4입니다: 5개의 등가류이며, 가능한 각 원소 순환마다 하나의 등가류가 아닙니다. 유형 2+1+1과 2+2은 모두 순환 2이지만 등가가 아닙니다.
- 순열의 등가류를 순환 유형에 따라 분류하십시오.
나머지 집합은 각 코셋에 대해 한 개의 요소를 가지며, 가해의 각 요소마다 한 개의 요소를 갖는 것이 아닙니다. 동형사상은 명시된 공역으로 전사일 필요는 없습니다.
Which answer fits this case?
Verify group structure and compute element orders and subgroup indices
Every subgroup of a nonabelian group is normal.
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In S3, conjugating the subgroup {identity,(1 2)} by (1 2 3) gives {identity,(2 3)}, a different subgroup.
구분을 유지하기
- 코셋(coset) — 코셋 분할의 일부가 되는 부분집합의 평행이동입니다.
- 정규부분집합(normal subgroup) — 모든 군 원소에 의해 켤레 연산(conjugation)에 불변하는 부분집합입니다.
- 군 구조를 확인하고 element의 순서와 부분집합의 인덱스를 계산합니다.
- 커널과 이미지를 사용하여 준군을 식별하십시오.
- 정규부분군과 임의의 부분군을 구분하십시오.
- 순열의 등가류를 순환 유형에 따라 분류하십시오.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.