이산 수학, 확률 및 수치 해석법
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| recurrence/rɪˈkʌrəns/ | 점화 관계 |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | 상호 배타적 |
답에 앞서 결정하기
- 계산기는 근을 제공하지만, 시작점과 미분값이 뉴턴법(Newton's method)이 근에 수렴할 수 있는지를 결정합니다.
- 목표: 세기, 점화식, 그래프 추론 및 논리를 활용하십시오.
관계 파악하기
- 먼저 세는 모델을 선택하십시오: r개의 상이한 물체의 순열은 n(n−1)⋯(n−r+1)이며, 순열하지 않는 부분집합은 C(n,r)을 사용합니다. n개 정점을 가진 완전 단순 그래프는 각 순열하지 않는 정점 쌍당 한 개의 모서리를 가지므로, n(n−1)/2개의 모서리가 있습니다. 루프와 이중 모세는 모델을 변경합니다. 평면에서 일반 위치에 있는 n개의 직선에서, k번째 직선은 이전의 k−1개의 직선을 서로 다른 점에서 교차하여 k개의 영역을 추가합니다. 총합은 1+n(n+1)/2입니다. 평행하거나 삼중 교점이 있으면 해당 계산이 무효화됩니다.
- 확률과 분포의 성질을 계산하십시오.
How many unordered pairs can be chosen from 5 objects?
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5 choose 2 =5×4/2=10.
정의 규칙 활용하기
- 최소 하나 발생을 세기 위해 보수를 사용하고, 비환원 추출(draw without replacement) 후 실제 남은 표본집단에 대해 조건부 확률을 적용하라. n개 등확률 값에서 r개의 iid 결과를 선택할 때, 모두 서로 다른 확률은 r≤n일 때 n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r이다. 이 보수는 반복된 결과를 세는다. N개의 독립 시도로 고정된 성공確率 p를 가진 이항분포에서 평균은 Np, 분산은 Np(1−p)이다. 동일한 확률만으로 독립성이 증명되지는 않는다.
- 수치 근사법을 적용하고 오차를 평가하십시오.
A tree has 8 vertices. Its edge count is:
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A finite tree has n−1 edges.
조건 확인
- 재귀(recurrence)는 이전 값을 기반으로 후속 값을 설명하며, 수열을 결정하기에 충분한 초기 데이터가 필요하다. 인덱스와 값을 분리하라: a_n=2a_(n−1) with a_0=3는 a_n=3·2^n을 준다. 그래프 및 알고리즘 논증은 새로운 꼭짓점이나 단계가 무엇을 추가하는지를 식별함으로써 재귀를 spesso 설정한다. 폐쇄 공식(closed formula)은 재귀와 초기 조건 모두를 만족해야 하며, 몇 개의 관측된 항에 fitting하는 것은 모든 인덱스에 대해 증명이 되지 않는다.
- 수치 근사법을 적용하고 오차를 평가하십시오.
f(x)=x²−2이고 x₀=1일 때, 뉴턴의 단계는 1−(1−2)/2=1.5를 줍니다. 다음 값은 1.5−0.25/3=1.4167입니다. 이들은 sqrt(2)에 대한 근사치이지만, f′(0)=0인 경우 0은 유효하지 않은 시작점입니다.
For a fair die, P(even) = ____ (decimal).
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Three of six equally likely outcomes are even.
문제 형식 적용하기
- 수치 근사(numerical approximation)에는 오차 분석이 필요합니다. 이분법(bisection)은 연속함수의 부호가 바뀌는 구간을 유지하며 매 단계마다 그 너비를 절반으로 줄입니다. 연속성이 결여되면 영점(zero)이 존재하지 않을 수 있습니다. 뉴턴의 업데이트 공식은 x_new=x−f(x)/f′(x)이며, 현재 지점에서 도함수가 0이 아니어야 합니다. 모든 시작 값에서 수렴이 보장되지는 않습니다. 근사의 잔차(residual)와 x에서의 오차는 다릅니다. 방법의 가정과 멈춤 기준(stopping criterion)을 명시하십시오. 단순히 표시된 추가 소수점 자릿수를 정확도로 간주해서는 안 됩니다.
- 수치 근사법을 적용하고 오차를 평가하십시오.
양수 확률을 가진 사건들은 동시에 독립적이거나 상호 배타적일 수 없습니다.
다음 중 이 사례에 부합하는 답안은 무엇입니까?
세는 법, 재귀 관계, 그래프 추론 및 논리 활용하기
Newton’s method is guaranteed to converge from every starting value.
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A zero derivative or unsuitable starting value can prevent convergence.
구분을 유지하기
- 점화식(recurrence) — 한 수열 항을 이전 항들 linking하는 규칙입니다.
- 상호 배타적(mutually exclusive) — 함께 일어날 수 없는 사건들입니다.
- 세기, 점화식, 그래프 추론 및 논리를 활용하십시오.
- 확률과 분포의 성질을 계산하십시오.
- 수치 근사법을 적용하고 오차를 평가하십시오.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
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Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.