실해석학 및 위상수학
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| compact/kəmˈpækt/ | 압축적 |
| supremum/suːˈpreməm/ | 최소 상한 |
답에 앞서 결정하기
- 개구간 (0,1)은 유계이지만, 이 구간 위의 연속함수는 반드시 최대값을 가지지 않을 수 있습니다.
- 당신의 목표: 수열 및 함수의 극한 정의를 적용하는 것이다.
관계 파악하기
- epsilon–delta 명제는 충분히 가까운 모든 입력을 통제합니다. 양서자 순서는 중요합니다.
- 컴팩트성, 연결성 및 완결성을 구분하십시오.
Which subset of the real line is compact?
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It is both closed and bounded in the real line.
정의 규칙 활용하기
- 실수 유클리드 공간에서 닫힌 집합과 유계 집합은 컴팩트합니다. 이 등价的 성질을 모든 거리 공간에 적용하지 마십시오.
- 거리 공간 및 기초 위상적 추론을 사용하십시오.
A convergent real sequence must be:
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Convergence gives an eventual bound plus finitely many earlier terms.
조건 확인
- 컴팩트 집합의 연속 이미지는 컴팩트하므로, 컴팩트 도메인 위의 실수 연속함수는 극값을 가집니다.
- 거리 공간 및 기초 위상적 추론을 사용하십시오.
f(x)=x가 (0,1)에서 정의될 때, 이 함수는 연속하고 유계이지만 상한 1에 절대 도달하지 않습니다. 반면 [0,1]에서는 같은 함수가 1에서 최대값을 가집니다. 끝점의 부재가 왜 컴팩트 도메인 정리(Compact-domain theorem)가 첫 번째 경우에는 적용되지 않는지 설명해 줍니다.
The supremum of (0,1) is ____.
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It is the least upper bound, although it is not in the set.
문제 형식 적용하기
- 연결성은 서로소인 비공개 개집합으로 분리되는 것을 배제합니다. 연속함수는 연결성을 보존하며, 완결성은 별도의 성질입니다.
- 거리 공간 및 기초 위상적 추론을 사용하십시오.
정리의 결론은 전제 조건이 검증되기 전에 사용될 수 없다.
다음 중 이 사례에 부합하는 답안은 무엇입니까?
수열 및 함수의 극한 정의 활용하기
Every bounded continuous function attains its supremum.
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f(x)=x on (0,1) does not.
구분을 유지하기
- 컴팩트 — 모든 개피복(open cover)은 유한 부분 피복을 가집니다.
- 최상한(supremum) — 집합의 최상한입니다.
- 수열 및 함수의 극한 정의를 적용하십시오.
- 컴팩트성, 연결성 및 완결성을 구분하십시오.
- 거리 공간 및 기초 위상적 추론을 사용하십시오.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
The order follows the stated process; check each stage before the next.