단변수 미적분 및 그 응용
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| continuity/kɒntɪˈnjuːɪti/ | 연속성 |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | 수렴 |
답에 앞서 결정하기
- 함수는 0에서 연속일 수 있으나, 그 점에서 미분 불가능할 수 있습니다. 그래프의 꼭지점(코너)은 이러한 차이를 검증합니다.
- 당신의 목표: 극한, 연속성 및 미분 가능성을 활용하는 것입니다.
관계 파악하기
- 한계는 특정 점 근처의 값을 기술하며, 해당 점에서 함수가 정의되기를 요구하지는 않는다. 연속성은 함수 값이 존재하고 한계와 일치한다는 추가 조건을 더한다. 대수적 소거는 소거된 영점 외에서는 유효하지만, 제거 가능한 한계를 드러낼 수 있다. 양측 한계는 양쪽 한계가 일치해야 한다. 분수 한계의 경우, 규칙을 적용하기 전에 분모와 가정을 확인하라; 0/0은 결정할 수 없는 형태(indeterminate form)일 뿐 답이 아니다.
- 미분, 적분 및 기본 정리를 적용하십시오.
f(x)=|x| at 0 is:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Left and right derivatives are −1 and 1.
정의 규칙 활용하기
- 미분은 차분 비의 극한이며 연속성을 함의하지만, 역명제(연속이면 미분 가능)는 성립하지 않음을 |x|가 0에서 가지는 성질로 알 수 있다. 곱, 나눗, 연쇄 법칙은 서로 다른 미분 구조를 설명한다: f(g(x))의 미분은 f′(g(x))g′(x)이며, 무관한 값들의 곱이 아니다. 합성함수를 두 번 미분하면 일반적으로 두 항이 나타난다. 기호적 식을 미분 결과로 사용하기 전에 정의역, 분모의 영아닌 조건, 그리고 미분 가능성 가정을 반드시 확인해야 한다.
- 리만 합(Riemann sums)을 인지하고 무한 급수와 구분하라.
The series sum 1/n for n≥1:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
The harmonic series diverges; the term test alone is insufficient.
조건 확인
- 기본 정리는 ∫a부터 x까지의 연속 피적분함수 f(t)의 도함수가 f(x)임을 말한다. 상한이 변수 h(x)인 경우 h′(x)를 곱하고, 두 상한이 변수인 경우 하한에 해당하는 기여분을 뺀다. 정적 적분 또한 리만 합의 한계로 나타날 수 있다. n에 의존하는 항을 상수로 처리하기보다 (1/n)Σf(k/n)로 변형하여 [0,1]에서의 적분을 식별하라.
- 리만 합(Riemann sums)을 인지하고 무한 급수와 구분하라.
F(x)=0부터 x²까지 e^t dt의 적분일 때, 기본 정리와 연쇄법칙에 의해 F′(x)=e^(x²)·2x가 됩니다. x=1일 때, F′(1)=2e입니다. 상한이 x²이므로, 2x를 생략하면 그 변화율을 놓치게 됩니다.
Derivative of ln x at x=2 is ____.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
d(ln x)/dx=1/x for x>0.
문제 형식 적용하기
- 예를 들어 Σ k=1부터 n까지의 n/(n²+k²)는 (1/n)Σ1/(1+(k/n)²)에 해당하며, ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4로 수렴한다. 이 한계는 연속성과 구간의 너비 1/n을 사용한다. 무한히 많은 항에 대한 급수는 다른 한계이다: 항이 0으로 수렴하는 것만으로 수렴이 보장되지는 않는다. Σ1/k의 부분합은 발산하므로, 충분조건으로서 항의 필요 조건을 사용할 것이 아니라 비교, 추정 또는 유효한 급수 판정법을 적용하라.
- 리만 합(Riemann sums)을 인지하고 무한 급수와 구분하라.
A-level 미적분학은 유용한 선행 지식이지만, 여기서 시험되는 학부 수준의 해석学与응용을 포함하지는 않는다.
다음 중 이 사례에 부합하는 답안은 무엇입니까?
한계, 연속성 및 미분 가능성의 활용
Every continuous real function is differentiable.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Absolute value at zero is a counterexample.
구분을 유지하기
- 연속성 — 함수 값과 그 극한의 일치.
- 수렴 — 유한한 극한값에 접근함.
- 극한, 연속성 및 미분가능성을 사용하라.
- 미분, 적분 및 기본 정리를 적용하십시오.
- 리만 합(Riemann sums)을 인지하고 무한 급수와 구분하라.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
The order follows the stated process; check each stage before the next.