| English | 의미 |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | 최적화 |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | 제약 조건 |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | 연관 변화율 |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | 두 곡선 사이의 면적 |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | 한계 비용 |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | 한계 수익 |
고정된 부피가 디자인을 제한합니다
- 폐포 원통형 교육 모델은 500cm³의 부피를 가지며, 평평한 상하단과 이음새 여백이 없습니다. 반지름과 높이는 독립적으로 선택할 수 없습니다.
- 최적화는 명시된 실현 가능한 도메인 내에서 필요한 최대값 또는 최소값을 찾습니다. 물리적 가정은 모델의 일부입니다.
변수를 줄이고 후보를 비교합니다
- 제약 조건을 사용하여 목표関数를 하나의 변수로 표현하십시오. 폐포 원통의 경우, $h=500/(\pi r^2)$과 $A(r)=2\pi r^2+1000/r$이 있으며, $r>0$입니다.
- 정지점 후보를 찾기 위해 미분하고, 분류를 정당화하며 applicable 경계를 확인하십시오. 정수 택의 경우, 분수 최적해를 허용된 답으로 간주하기보다 실현 가능한 인접 정수들을 비교하십시오.
최적화 문제의 단계를 순서대로 배열하십시오.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
목표와 허용 구간을 명시하고, 필요할 때 제약식을 사용하여 정지점 후보를 찾으세요. 분류, 경계 조건 및 이산적 제한사항을 비교하십시오.
폐포 원통의 최소값. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$은 $r^3=250/\pi$을 주므로, $r\approx4.30$ cm가 됩니다. $A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$은 양수 r에 대해 성립하며 A는 양 끝에서 무한대로 증가하므로, 이것이 명시된 연속 모델의 전역 최소값입니다. 부피 제약 조건은 이후 $h=2r$을 제공합니다.
평평한 윗면과 아랫면을 가진 밀폐 원기둥이 500 cm³의 부피를 담아야 합니다. 봉합선을 무시하고 양의 반지름에 대해 표면적을 최소화하는 반지름을 소수점 2자리까지 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A(r) = 2πr² + 1000/r for r > 0입니다. 미분계수를 구하면 r³ = 250/π이므로 r ≈ 4.30 cm입니다. 양의 이차 미분계수와 끝점에서의 발산은 전역 최소임을 정당화합니다.
정의된 종속성을 통해 변화율을 연결합니다
- $V=V(r)$과 $r=r(t)$일 때, 연쇄 법칙은 $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$를 제공합니다.
- 관련 변화율은 요청된 순간에 호환되는 단위와 값을 필요로 합니다. 변화율을 적분하면 누적 변화량이 되며, 초기 양은 최종 총량을 결정합니다.
풍선의 반지름이 알려진 속도로 커지고 있을 때 부피가 얼마나 빠르게 증가하는지 알고 싶습니다. 먼저 무엇을 써야 합니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
먼저 연쇄 법칙을 쓰고 각 인자를 채우십시오. 이것이 문제를 두 개의 일반 미분 문제로 바꿉니다.
면적 및 편미분 모델에는 한계가 있습니다
- 두 곡선 사이의 면적은 지정된 영역에서 상하한 차法을 사용합니다. 감싸인 영역의 교차점을 찾고 순서 변경 지점에서 분할하십시오. 외부에서 지정된 구간이 대신限界를 제공할 수도 있습니다.
- 편계 비용과 편익은 연속 모델의 미분입니다. 이들을 등식으로 놓으면 내부 정지점 수익 후보를 찾을 수 있으나, 실현 가능성, 분류 및 경계 경쟁자 확인이 여전히 필요합니다.
두 교차 곡선으로 둘러싸인 유한 영역에 대해 적분 구간을 결정하기 위해 무엇을 찾아야 합니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
관심 있는 교점을 찾고 각 구간에서 위쪽에 있는 곡선을 결정하며, 순서가 바뀌면區間을 나누십시오. 외부 구간이 지정된 문제는 대신 구간을 직접 제공하기도 합니다.
미분 가능한 연속적인 비용 모델에서 한계 비용은 총비용의 미분계수입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
이는 순간적 모델 변화율입니다. 실제 이산적 1단위 증가는 유한 차이이며, 그 미분계수와 정확히 같지 않을 수 있습니다.
미분은 항상 정확한 1단위 증가를 의미하지 않습니다. $C(q)=100+3q+0.2q^2$의 경우, $C'(10)=7$이지만 $C(11)-C(10)=7.2$입니다. Sheet 3.3에서도 5.5에서의 연속 최대값과 가장 좋은 정수량인 5와 6을 비교합니다.
캔의 경우 r = 4.30을 구했습니다. 채점자가 원하는 완전한 답변 문장을 쓰십시오.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
예시: 반지름은 약 4.30 cm이며, 주어진 폐포 실린더 부피 모델 하에서 표면적을 최소화합니다.
단순히 정지점이 존재한다고 해서 전역 최적解(global optimum)가 보장되는 것은 아닙니다. 실현 가능한 domain과 다른 후보점이나 경계에서 더 나은 값이 나올 수 없는 이유를 설명하십시오. 용기의 개구부, seam allowance(봉제 여백), 혹은 실용적인 치수 제약 조건이 변경되면 모델이 달라질 수 있습니다.