| English | 의미 |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 정적분 |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | 미적분학의 기본정리 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 상수 |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 변수 치환 적분법 |
Signed accumulation can cancel
- Integration 积分 can recover an antiderivative or calculate signed accumulation. A definite integral is not automatically a nonnegative geometric area.
- For a continuous integrand, the fundamental theorem of calculus 微积分基本定理 connects a definite integral to an antiderivative evaluated at its bounds.
Keep the antiderivative family
- An indefinite integral needs a constant of integration 积分常数 because differentiating any constant gives zero. The power formula is $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ for $n\ne-1$ on a valid domain.
- The reciprocal exception is $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ on an interval not crossing zero. A positive or negative domain needs attention before choosing a logarithm expression.
x³을 x에 대해 적분하십시오. 상수를 포함하십시오.
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지수에 1을 더하고 새로운 지수로 나눈 뒤, c를 더하십시오. 모든 상수의 미분계수는 0이기 때문입니다.
정적분에는 적분 상수가 필요하지 않습니다.
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F(b) − F(a)에서 상수는 상쇄됩니다. 불정적분에만 상수가 필요하며, 그때는 필수입니다.
영문 문장 하나로 불정적분에 "+ c"가 필요한 이유를 설명하십시오.
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예시: "모든 상수의 미분계수는 0이므로, 원래 상수는 미분계수로부터 복원할 수 없습니다."
Evaluate upper minus lower
- A definite integral 定积分 gives $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ when the antiderivative method applies. Substitute both bounds into the same F.
- C cancels between those evaluations. For geometric area, split where the curve changes sign or where upper and lower curves exchange order.
곡선 아래의 면적
$\int_a^b f(x)\,dx$
정적분은 곡선과 축 사이의 부호를 고려한 면적입니다.
0부터 3까지 x²의 적분을 계산하십시오.
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[x³/3] from 0 to 3 = 27/3 − 0 = 9.
Zero integral, positive area. For $y=x$ from negative 1 to 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Geometric area is $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Each triangular region has area one half; their signed contributions cancel.
Substitute both the function and differential
- Integration by substitution 换元积分法 reverses the chain rule. With $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, so $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- For a definite integral, transform its bounds to u or return to x before evaluating original bounds. Do not combine u expressions with x bounds.
2x(x² + 1)⁵의 적분을 단순화할 치환은 무엇입니까?
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미분계수인 2x가 이미 존재하므로 du = 2x dx이고, 적분은 u⁵ du가 됩니다.
Differentiate an antiderivative to check it. Also check the domain, integration constant and bounds; differentiation alone does not prove that a definite integral or geometric area was evaluated correctly. Sheet 3.2 uses velocity to distinguish displacement, total distance and final position.
적분 결과를 어떻게 신뢰하게 확인할 수 있습니까?
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제안된 원함수를 미분하여 원함수(피적분함수)와 영역 내에서 비교하십시오. 또한 상수, 구간 및 부호나 기하학적 면적 해석도 확인해야 합니다. 미분만으로는 해당 단계들이 유효함을 증명할 수 없습니다.
An antiderivative valid on an interval cannot automatically justify evaluating across a singularity. Check the integrand's domain before applying upper-minus-lower. An initial position must be added when an integral gives only a displacement.