지수함수와 로그

어휘

English	의미
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	지수 함수
exponent/ekˈspəʊnənt/	지수
natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/	자연로그
compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/	복리
exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/	지수 감쇠

반복 곱셈을 통해 모델 만들기

지수함수(exponential function) , 예를 들어 $y=a^x$는 변수가 지수(exponent) 에 위치하며, $a>0$과 $a\ne1$을 포함합니다.
이関数들은 $a>1$일 때는 성장하고, $0<a<1$일 때는 감쇠합니다. 동일한 시간 간격마다 같은 인수로 곱해지며, 반드시 같은 양을 더하는 것은 아닙니다.

탐색하기

직선 대비 지수 성장

$y = a^x$

어떤 경사의 선이라도 상수 인자는 항상 상수 양을 넘어섭니다.

역연산으로서的对数(logarithm) 사용하기

$\log_a y=x$는 $a^x=y$을 의미합니다. 실수对数는 양수인 피대수항과 1이 아닌 양수인的底数(base)를 필요로 합니다.
자연로그는的底数 e를 사용합니다. 그래프 $y=\ln x$은 $(1,0)$을 지나며 수직 점근선은 $x=0$입니다; 지수함수 그래프는 y절편이 1이고 수평 점근선이 $y=0$입니다.

연습

log₁₀ 1000의 값은 무엇입니까?

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법칙은 정의역 내에서만 적용하십시오

양의 m과 n이 동일한 유효한的底数를 가질 때, $\log(mn)=\log m+\log n$과 $\log(m/n)=\log m-\log n$입니다.
지수법칙 $\log(m^k)=k\log m$은 지수를 곱으로 가져옵니다. 합의 로그를 나누는 대응 법칙은 없습니다.

연습

지수에 위치한 알 수 없는 값을 풀 수 있게 해주는 법칙은 무엇입니까?

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log(mn) = log m + log n
log(m/n) = log m − log n
log(mᵏ) = k log m
log(m + n) = log m + log n

연습

log(m + n)는 log m + log n과 같습니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

시간 및 재정적 가정을 명시하십시오

복리는 특정 기간당RATE를 위한 $A=P(1+r)^n$을 사용하며 다른 현금 흐름은 없습니다.利率 r은 백분율 숫자가 아닌 분수입니다.
지수감쇠는 0과 1 사이의 배율을 사용합니다. 연속시간 임계값은 첫 유효한 완전 기간 샘플과 다를 수 있으며, 실제 과정에서는 모델 채택 전에 증거가 필요합니다.

연습

5000이 연 4%씩 성장합니다. 이 금액이 최초로 7000를 초과하는 데 걸리는 정수 연수는 몇 년입니까?

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연습

지수 감쇠(exponential decay)를 주는 베이스는 무엇입니까?

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

a = 1.5
a = 1
a = 0.85
a = 2

연습

영문 문장으로, 방정식을 풀 때 로그를 사용할 경우를 설명하십시오.

난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

Example

완전 연차 임계값. $A(n)=500(1.04)^n$을 사용하면 조건 $A(n)>600$은 $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$을 줍니다. 첫 완전 연차는 5입니다. 엄격한 부등식을 확인하기 위해 연차 4와 5를 확인하십시오.

Key idea

방정식과 그래프의 정의역을 각각 확인하십시오. $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$에서 방정식은 $x>1$을 필요로 하며 해는 6입니다. 별개의 기본 그래프 $y=\ln x$은 $x>0$에 대해 정의됩니다. 시트 1.6은 두 방정식과 그래프의 특징을 연습합니다.

Watch out

양의 지수감쇠 모델은 모든 유한한 시간에서 0보다 큽니다. 물리량으로 측정되어 0인 경우는 공식이 예측한 정확한 0이 아니라 탐지 한계 또는 모델 실패일 수 있습니다.