고정점 반복법
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복법 |
How reliable is an approximation?
- A nonlinear equation has no convenient exact solution. An approximation still needs evidence that it is reliable.
- This lesson studies iteration 迭代: A repeated update in which each new approximation is calculated from the previous one.
Choose the mathematical structure
- Rearrange the equation as x=g(x), choose a starting value and iterate. A limit L must satisfy L=g(L). Near a fixed point, |g prime(L)|<1 provides a local convergence check; a sign bracket can validate the reported rounded root.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
f(x)=1/x는 -1과 1 사이에서 부호가 바뀐다. 왜 이것이 [-1,1]에 근이 존재함을 증명하지 않는가?
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중간값 정리의 적용은 전체 구간에서의 연속성을 요구한다. 점근선 x=0에서 함수는 부호가 음수에서 양수로 급변하며, 이 지점에는 근이 존재하지 않는다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For x²-x-2=0 choose x next=√(2+x), starting at x₀=1. Then x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185 and the positive fixed point is 2. At 2, g prime=1/(2√4)=1/4, so small local errors shrink. The square-root rearrangement seeks the positive root; it does not give the negative root -1.
고정점 반복법
방정식을 x = g(x) 형태로 변형하고, 시작 값을 선택하여 반복 계산하십시오.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
x₁를 구하시오. 단, x_next=√(2+x), x₀=1임.
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x₀ = 1를 대입하면: x₁ = √(2 + 1) = √3입니다.
Test a tempting shortcut
- Different rearrangements can have different convergence behaviour. Check the iterates, domain and original equation; a square-root update cannot reach a negative fixed point.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every rearrangement of an equation converges to the same root from every starting value. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
양수 고정점을 구하시오.
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양수 고정점 L에서 L = √(2 + L)이므로, L² - L - 2 = 0이며, 따라서 L = 2입니다.
방정식의 모든 재배열은 시작 값과 무관하게 동일한 근으로 수렴합니다.
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다양한 재배열은 서로 다른 수렴 거동을 보일 수 있습니다. 반복값, 정의역 및 원래 방정식을 확인하십시오. 제곱근 업데이트는 음수 고정점에 도달할 수 없습니다.
Interpret a new situation
- P3 uses equation rearrangement and numerical iteration. This lesson excludes Newton and numerical integration, which belong to other units.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
x = 2일 때, 식 x² - x - 2의 값을 계산하시오.
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잔차는 2² - 2 - 2 = 0입니다.
각 수치 해석 방법을 그 업데이트 공식이나 규칙에 매칭하시오.
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각 방법에는 고유한 적용 조건이 있다: 이분법은_theme连续的부호 변경이 필요하고, 뉴턴법은 제로가 아닌 미분값이 필요하며, 사다리꼴 법칙은 등폭 간격이 필요하다.
Use this in your course
- edexcel IAL pure mathematics; official unit P3. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A repeated update in which each new approximation is calculated from the previous one. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.