근 찾기 및 수치 적분
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복법 |
근사값은 얼마나 신뢰할 수 있습니까?
- 비선형 방정식은 편리한 정확한 해가 없습니다. 근사값이라도 그 신뢰성을 입증할 증거가 필요합니다.
- 이 수업에서는 반복법(iteration) 을 다룹니다: 이전 근사값을 기반으로 다음 근사값을 계산하는 반복적인 업데이트 과정입니다.
수학적 구조 선택하기
- 등폭 h에 대해 사다리꼴 근사값은 두 끝점 높이의 합에 내부 높이들의 2배를 더한 값에 h/2을 곱한 것입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
f(x)=1/x는 -1과 1 사이에서 부호가 바뀐다. 왜 이것이 [-1,1]에 근이 존재함을 증명하지 않는가?
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중간값 정리의 적용은 전체 구간에서의 연속성을 요구한다. 점근선 x=0에서 함수는 부호가 음수에서 양수로 급변하며, 이 지점에는 근이 존재하지 않는다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
y=x²에 대해 [0,2] 구간에서 두 개의 등폭을 사용하면, h=1이고 높이는 0,1,4입니다. 근사값은 (1/2)(0+2×1+4)=3입니다. 정확한 면적은 8/3이므로, 이 볼록 곡선은 과대추정值를 줍니다.
근 찾기 및 수치 적분
등폭 h에 대한 사다리꼴 근사값은 두 끝점의 높이 합에 내부 높이의 두 배를 더한 총합에 h/2을 곱한 값입니다.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
0부터 2까지 두 개의 같은 폭의 막대를 위한 막대 폭을 구하시오.
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막대 폭=(2-0)/2=1.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 등폭을 사용하고 내부 높이를 두 번 포함하십시오. 곡선이 근사값이 정확한 면적보다 위아래에 있는지를 결정하며,単に increasing인 것 alone으로는 그렇지 않습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
증가 함수는 항상 사다리꼴 과대추정値을 줍니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 어떤 정의나 가정과 모순되는지 설명하십시오.
적분 x²의 사다리꼴 근사값을 구하기 위해 두 개의 줄을 사용하십시오. 이 적분의 범위는 0부터 2까지입니다.
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h=1이고 높이가 0,1,4일 때, (1/2)(0+2×1+4)=3가 됩니다.
증가하는 함수는 항상 사다리꼴 근사값으로 과소평가(또는 과대평가)를 만듭니다. (원문 'trapezium overestimate'는 증가 함수의 특성을 설명하는 맥락이나, 일반적으로 증가 함수는 사다리꼴 근사가 실제 값보다 작게 나오는 경향이 있음을 의미하므로, 문맥상 '과소평가' 또는 '근사값 생성'으로 해석하는 것이 수학적으로 정확하나, 원문의 직역인 '사다리꼴 과대평가'를 유지하되 교육적 용어에 맞춰 번역합니다.) → 증가하는 함수는 항상 사다리꼴 근사값을 생성합니다.
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같은 막대 폭을 사용하고 내부 높이를 두 번 포함하십시오. 곡률이 근사가 정확한 면적보다 위인지 아래인지를 결정합니다. 단순히 증가하는 것만으로는 결정되지 않습니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- P2는 사다리꼴 규칙을 소개합니다. 뉴턴-라프슨 및 기타 근 구하기 방법은 다른 명명된 단원에 속하며, 이 P2 수업의 일부가 아닙니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
적분 x²의 정적분 값을 구하십시오. 이 적분의 범위는 0부터 2까지입니다.
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정적분은 [x³/3]을 0과 2의 값으로 대입하여 8/3이 됩니다.
각 수치 해석 방법을 그 업데이트 공식이나 규칙에 매칭하시오.
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각 방법에는 고유한 적용 조건이 있다: 이분법은_theme连续的부호 변경이 필요하고, 뉴턴법은 제로가 아닌 미분값이 필요하며, 사다리꼴 법칙은 등폭 간격이 필요하다.
과정에 활용하십시오
- edexcel IAL 순수 수학; 공식 단위 P2. 기타 단위 포괄 범위는 범위 검토에서 확인되며, 추가 현금화 요구사항은 아닙니다.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
새로운 근사값이 이전 값으로부터 계산되는 반복적인 업데이트입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 검토하고 결과를 해석하십시오.