Continuous distributions and density functions
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | 확률 밀도 |
키는 확률과 같은가?
- 대기 시간은 구간 내 모든 값을 가질 수 있습니다. 이 확률은 특정 순간의 그래프 높이에서 나오는 것이 아니라 면적입니다.
- 이 수업에서는 확률 밀도를 연구합니다: 한 구간에 대한 적분이 해당 확률을 주는 비음함수입니다.
수학적 구조 선택하기
- 밀도 f는 음수가 아니어야 하며 지지(Ne-support) 내에서 적분값이 1이어야 합니다. 누적분포함수 F(x)는 x까지의 적분입니다. 연속형 변수의 경우 P(X=x)=0이며 E(X)는 xf(x)의 적분입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For a continuous random variable, why is P(X=1)=0 even though the density may be positive at 1?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A density gives probability through integration over an interval. A point interval has zero width, hence zero area, hence zero probability - however tall the density is there.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
f(x)=kx라고 하고, 0≤x≤2 범위에서 정의하며 그 밖에서는 0이라고 합시다. 정준화(normalization)에 의해 integral_0^2 kx dx=2k=1이므로, k=1/2입니다. 그러면 P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4이고, E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3입니다.
Continuous distributions and density functions
A density f must be nonnegative and integrate to 1 over its support
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find k when f(x)=kx on [0,2] is a density.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Total density area k[x²/2] from 0 to 2=2k=1, so k=1/2.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 밀도는 무효하지 않더라도 ⟨1⟩보다 클 수 있습니다. 총 면적은 반드시 ⟨1⟩여야 합니다. 누적분포함수는 감소할 수 없습니다. 완전한 모델을 정의할 때는 지지 영역 외부의 영밀도 영역을 포함해야 합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
연속형 변수의 경우 P(X=x)는 밀도 높이 f(x)와 같습니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정과 위배되는지 설명하십시오.
For that density, find P(X≤1).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Probability=integral x/2 from 0 to 1=[x²/4]=1/4.
A continuous variable has P(X=x) equal to the density height f(x).
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Density can exceed 1 without being invalid; total area must equal 1. A cumulative distribution cannot decrease. Include the zero-density region outside the support when defining a complete model.
새로운 상황을 해석하십시오
- 균일분포(uniform distribution)의 경우 밀도는 구간 길이의 역수입니다. 중앙값이나 백분위수를 찾기 위해 누적확률을 사용하고, 모멘트 계산 시에는 지지(Ne-support)를 고려한 적분을 사용하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
For that density, find E(X).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
E(X)=integral x²/2 from 0 to 2=[x³/6]=4/3.
Match each density-function requirement to its statement.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A density may exceed 1 locally; only the total area is fixed at 1. The cumulative function integrates and the expectation weights by x.
과정에 활용하십시오
- edexcel IAL 추가 수학; 공식 단위 S2입니다. 다른 단위의 심화 내용은 범위 검토에서 식별되며, 추가 현금화 요구사항이 아닙니다.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
한 구간에 대한 적분이 해당 확률을 주는 비음함수입니다. 관계를 선택하고, 방법을 보여주고, 가정을 확인하며, 결과를 해석하십시오.