Binomial, normal and Poisson models
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | 기대값 |
무작위 변수가 어떻게 예측 가능한가?
- 품질 검사원이 불량품을 세는 수치는 무작위이지만, 모델은 그 예상 범위를 설명할 수 있습니다.
- 이 수업에서는 기대값 expected value를 다룹니다: 무작위 변수의 확률 가중 평균입니다.
수학적 구조 선택하기
- 이산 확률 변수(discrete random variable)의 경우, 확률의 총합이 1가 되어야 하며 E(X)=sum xP(X=x)를 계산합니다. 정규(normal) 모델의 경우 z=(x-μ)/σ를 사용하여 적절한 면적을 계산하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
A count of successes fails the binomial model when which condition breaks?
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The binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and a constant p. Sampling without replacement makes trials dependent, so the binomial formula no longer applies exactly.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
X가 0,1,2를 취할 확률이 0.2,0.5,0.3일 때, E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1입니다. 또한 E(X²)=0+0.5+1.2=1.7이므로, Var(X)=1.7-1.1²=0.49입니다. μ=100, σ=15인 경우, 값 130의 z는 ⟨2⟩입니다.
Binomial, normal and Poisson models
For a discrete random variable, sum the probabilities to 1 and calculate E(X)=sum xP(X=x)
Compare the model with the worked case and explain one change.
Find E(X) for values 0,1,2 with probabilities 0.2,0.5,0.3.
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E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 모든 세기(count)가 이항 분포를 따르는 것은 아닙니다. p의 변화나 종속성은 이를 무효화할 수 있습니다. 연속 변수의 경우 특정 한 값에 대한 확률은 0입니다. 이산 분포를 정규 분포로 근사할 때는 연성 보정(continuity correction)이 중요합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
세 가지 값을 가질 수 있는 임의 변수는 이항분포여야 합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정과 위배되는지 설명하십시오.
Find its variance.
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E(X²)=1.7, so variance=1.7-1.1²=0.49.
A random variable with three possible values must be binomial.
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Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
새로운 상황을 해석하십시오
- S1에는 이산형 임의 변수와 정규분포가 포함됩니다. 이항분포와 푸아송 분포로 명명된 모델은 S2 내용입니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
For μ=100 and σ=15, find the z-score of 130.
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Standardise: z=(130-100)/15=2.
Match each distribution fact to its formula or statement.
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The binomial moments follow from n and p; the z-score converts any normal value into standard units for table use.
과정에 활용하십시오
- edexcel IAL Further Mathematics; 공식 단위 S1. 다른 단위의 심화 과정(scope review)에서 식별되며, 이는 추가 점수 획득 요구사항이 아닙니다.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
확률 변수의 확률 가중 평균입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.