쌍곡선 함수와 역관계
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| hyperbolic cosine/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈkəʊsaɪn/ | 쌍곡선 코사인 |
성장과 감쇠가 대칭 곡선을 만들 수 있을까요?
- 매달린 Cable(케이블)은 지수함수와 관련된 곡선 형태를 가집니다. 쌍곡선 함수들은 성장과 감쇠를 대칭적으로 결합합니다.
- 이 수업에서는 **쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine)**을 다룹니다: cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2 입니다.
수학적 구조 선택하기
- sinh x = (e^x - e^(-x)) / 2이고, cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2로 정의합니다. 이들의 기본 식은 cosh²x - sinh²x = 1입니다. 미분값은 sinh' = cosh이고, cosh' = sinh입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
삼각함수는 어떤 항등식을 만족하는가?
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정의를 직접 적용하면: (eˣ+e⁻ˣ)²/4 - (eˣ-e⁻ˣ)²/4 = 1입니다. 마이너스 기호는 원주 항등식 cos²+sin²=1과 구분해 줍니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
x = ln2일 때, e^x = 2이고 e^(-x) = 1/2입니다. 따라서 cosh x = 1.25이고 sinh x = 0.75입니다.它们的平方差是 1.5625 - 0.5625 = 1。为了求 y = sinh x 的逆函数，需对 e^x 建立二次方程并选择正根。
쌍곡선 함수와 역관계
sinh x=(e^x-e^(-x))/2 및 cosh x=(e^x+e^(-x))/2로 정의하십시오.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
cosh(ln2)를 구하시오.
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e^(ln2)=2이고 e^(-ln2)=1/2입니다. 두 값의 반합은 1.25입니다.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 쌍곡선 식에는 마이너스 부호가 있습니다. cosh는 모든 실수 입력에 대해 일대일 대응이 아니므로, 통상적인 역함수는 x ≥ 0을 사용합니다. 일반적인 원주 삼각함수 식을 그대로 대입해서는 안 됩니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
쌍곡선 함수의 식은 cosh²x + sinh²x = 1입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의 또는 가정을 설명하십시오.
sinh(ln2)를 구하시오.
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두 값의 반차이는 (2-1/2)/2=0.75입니다.
쌍곡선 함수의 항등식은 cosh²x+sinh²x=1입니다.
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쌍곡선 항등식에는 마이너스 부호가 있습니다. cosh는 모든 실수 입력에 대해 일대일 대응이 아니므로, 일반적인 역함수는 x≥0로 정의됩니다. 일반 원주 삼각함수 항등식을 그대로 대입할 수 없습니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 지수함수 정의를 사용하여 식을 증명하고 방정식을 풀십시오. 역함수를 미분하거나 적분하기 전에 domain 제한 조건을 명시하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
cosh²(ln2)-sinh²(ln2)를 구하시오.
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1.25²-0.75²=1로, 쌍곡선 항등식과 일치합니다.
각 삼각함수를 지수 함수 형태로 매칭하십시오.
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cosh는 eˣ의 짝수 부분이고 sinh는 홀수 부분이며, 미분은 이들을 서로 swapping하여, 사인과 코사인처럼 mirror하지만 동일하지는 않습니다.
과정에 활용하십시오
- edexcel IAL 추가 수학; 공식 단위 FP3. 다른 단위의 심화 학습은 scopes review에서 식별되며, 이는 추가 현금 요구 사항이 아닙니다.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
함수 cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정들이 타당한지 확인하고 결과를 해석하십시오.