극곡선과 면적

어휘

English	의미
polar coordinate/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnət/	극좌표

곡선을 방향(axis/direction)으로 묘사하는 이유는 무엇인가?

반지름이 방향에 의존할 때 꽃잎 모양 곡선은 더 단순해집니다. 데카르트 좌표는 이러한 구조를 숨길 수 있습니다.
이 수업에서는 극좌표(polar coordinate) 를 다룹니다: 지정된 원점 및 기준_doc(반사선)으로부터 거리 r과 각도 θ로 위치를 묘사합니다.

x=r cosθ와 y=r sinθ를 사용하십시오. 극 면적은 적절히 선택된 구간에 대해 r²에 대한 적분의 절반입니다. 한계 선택 전에 대칭성과 반복 traced를 식별하십시오.
계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

연습

(1/2)r²를 0부터 2π까지 적분하면 왜 특정 극 좌표 곡선의 면적이 이중으로 계산되는가?

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad A=\frac12\int r^2\,d\theta$$

Example

r=2이고 θ=π/3인 경우, x=1이고 y=√3입니다. 원 r=2에 대해 완전 회전 시, A=(1/2) integral_0^(2π) 4 dθ=4π입니다. 반회전은 2π로, 원판의 정확히 절반입니다.

탐색하기

x=r cosθ와 y=r sinθ를 사용하십시오.

모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.

연습

r=2, θ=π/3일 때 x를 구하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

r이 음수인 경우, 점은 반대 방향에 위치하며, 이는 동일한 광선 상의 일반적인 음의 거리가 아닙니다. 매개변수화 시 같은 영역을 여러 번 그릴 수 있으므로, 전체 매개변수 구간은 면적을 과계산할 수 있습니다.
단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

Watch out

어떤 전체 매개변수 구간을 사용하더라도 극 좌표 영역을 정확히 한 번만 세야 합니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의 또는 가정을 설명하십시오.

연습

전원(r=2)에 대해 면적을 π로 나눈 값을 구하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

어떤 전 매개변수 구간(full parameter interval)을 사용하더라도 극 영역을 정확히 한 번만 세게 됩니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

방향과 경계를 확립하기 위해 충분한 점들을 도식합니다. 두 곡선 사이의 닫힌 영역의 경우, 교차점을 구하고 각 구간에서 어떤 반지름 제곱 항이 바깥쪽 경계를 구성하는지 확인하십시오.
완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

연습

해당 원의 반회전(half-turn)에 대해 면적을 π로 나눈 값을 구하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

각 극 좌표 관계식을 직교 좌표의 대응 관계에 매칭하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

매치 하나를 선택한 후 목적지를 지정하세요. 매치를 두 개 선택하여 교체할 수 있습니다. Esc 키를 누르면 선택이 취소됩니다. 매치를 드래그하여 이동할 수도 있습니다.

r cos θ

r sin θ

(1/2)r² dθ

edexcel IAL 추가 수학; 공식 단위 FP2이다. 다른 단위의 심화는 범위 검토에서 식별되며, 추가 현금화 요건이 아니다.
최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

Key idea

선정된 원점과 기준 선에 대한 거리 r와 각도 θ로 설명되는 위치. 관계식을 선택하고, 계산 과정을 제시하며, 가정을 검증하고 결과를 해석하시오.