시리즈, 유한 미분 및 테일러 전개

어휘

English	의미
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	테일러 다항식

다항식이 지수함수를 근처에서 대체할 수 있는가?

x=a에 대해, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...는 전개가 유효할 때 성립한다. a=0일 때 이는 맥클로린 전개이다. 유한 합은 상쇄나 표준 합 공식에 의해 단순화될 수도 있다.
계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

연습

왜 1+x+x²/2가 eˣ를 근사하는 것입니까?

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$$f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots$$

Example

e^x의 첫 세 항은 1+x+x²/2이다. x=0.1일 때 이 값은 1.105이며, e^0.1≈1.105170과 가깝다. k=1부터 5까지의 k²의 합에 대해 n(n+1)(2n+1)/6은 5×6×11/6=55을 준다.

탐색하기

x=a에 대해, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+ ...

모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.

연습

1+x+x²/2을 사용하여 e^0.1를 추정하십시오.

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Watch out

테일러 다항식은 모든 입력값에서 원래 함수에 대해 정확하다. 이 주장은 틀렸다. 어떤 정의 또는 가정 위반을 설명하라.

연습

k=1부터 5까지 k²의 합을 구하십시오.

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연습

테일러 다항식은 모든 입력값에서 원본 함수와 정확히 일치합니다.

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투패일링 급수의 경우 몇 개의 항을 쓰고 살아남는 양 끝점을 식별하십시오. 테일러 근사의 경우 그 차수를 명시하고 필요할 때 알려진 값이나 절단오차 추정치와 비교하십시오.
완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

연습

e^x의 맥락린(Maclaurin) 전개식에서 x²의 계수를 구하십시오.

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연습

각 급수 도구를 그 용도에 따라 짝지어 주십시오

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n제곱의 합

중심에서의 k차 미분값을 k!로 나눈 값

연속된 항이 소거되어 합을 축약함

edexcel IAL 추가 수학; 공식 단위 FP2이다. 다른 단위의 심화는 범위 검토에서 식별되며, 추가 현금화 요건이 아니다.
최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

Key idea

선택한 중심에서의 함수의 미분값으로 구성된 다항식이다. 관계를 선택하고, 방법을 보여주며, 가정을 확인하고 결과를 해석하라.