이분법(bisection)과 뉴턴의 근 구하기
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복법 |
How reliable is an approximation?
- A nonlinear equation has no convenient exact solution. An approximation still needs evidence that it is reliable.
- This lesson studies iteration 迭代: A repeated update in which each new approximation is calculated from the previous one.
Choose the mathematical structure
- For a continuous function with a sign change, bisect a root bracket and keep the half with opposite endpoint signs. Newton updates x to x-f(x)/f prime(x), provided the derivative is nonzero.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
f(x)=1/x는 -1과 1 사이에서 부호가 바뀐다. 왜 이것이 [-1,1]에 근이 존재함을 증명하지 않는가?
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중간값 정리의 적용은 전체 구간에서의 연속성을 요구한다. 점근선 x=0에서 함수는 부호가 음수에서 양수로 급변하며, 이 지점에는 근이 존재하지 않는다.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For f(x)=x²-2, f(1)=-1 and f(2)=2. At midpoint 1.5, f=0.25, so the new bracket is [1,1.5]. At midpoint 1.25, f=-0.4375, so the next bracket is [1.25,1.5]. Newton from 1.5 gives 1.4166667.
이분법(bisection)과 뉴턴의 근 구하기
부호 변화가 있는 연속 함수에 대해 근 구간을 이분하여 끝점의 부호가 반대인 반쪽 구간을 유지하십시오.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
[1,2]의 중점을 구하십시오.
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중점=(1+2)/2=1.5.
Test a tempting shortcut
- A sign change must occur on an interval where the function is continuous. Newton can fail if its derivative is zero, or if its iterates leave the useful domain.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every sign change proves a root, including one across a discontinuity. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
위에서 설명한 두 번의 이분 후 하단 끝점을 구하십시오.
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중점 1.5 다음 1.25을 거친 후 남은 구간[1.25,1.5]의 하단 끝점은 1.25입니다.
모든 부호 변경은 근의 존재를 증명하지만, 불연속 구간을跨过하는 경우에도 해당합니다.
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함수가 연속인 구간에서는 부호 변화가 반드시 발생합니다. 도함수가 0이거나 반복 계산이 유효 영역을 벗어나면 뉴턴법은 실패할 수 있습니다.
Interpret a new situation
- FP1 numerical methods concern roots: bisection, interpolation and Newton methods. Numerical integration is not included in this lesson.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
해당 구간의 상단 끝점을 구하십시오.
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남은 상단 끝점은 f가 여전히 양수인 1.5입니다.
각 수치 해석 방법을 그 업데이트 공식이나 규칙에 매칭하시오.
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각 방법에는 고유한 적용 조건이 있다: 이분법은_theme连续的부호 변경이 필요하고, 뉴턴법은 제로가 아닌 미분값이 필요하며, 사다리꼴 법칙은 등폭 간격이 필요하다.
Use this in your course
- edexcel IAL further mathematics; official unit FP1. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A repeated update in which each new approximation is calculated from the previous one. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.