근 찾기 및 수치 적분
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복 계산 |
근사값은 얼마나 신뢰할 수 있습니까?
- 비선형 방정식은 편리한 정확한 해가 없습니다. 근사값이라도 그 신뢰성을 입증할 증거가 필요합니다.
- 이 수업에서는 반복법(iteration) 을 다룹니다: 이전 근사값을 기반으로 다음 근사값을 계산하는 반복적인 업데이트 과정입니다.
수학적 구조 선택하기
- 두 끝점에서 부호가 반대인 연속함수에는 그 사이에 근이 있다. 뉴턴 방법은 비영계 도함수를 사용하여 x next=x-f(x)/f prime(x)를 사용한다. 사다리꼴 규칙은 끝점의 높이로 정적분근사를 한다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
f(x)=1/x는 -1과 1 사이에서 부호가 바뀐다. 왜 이것이 [-1,1]에 근이 존재함을 증명하지 않는가?
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중간값 정리의 적용은 전체 구간에서의 연속성을 요구한다. 점근선 x=0에서 함수는 부호가 음수에서 양수로 급변하며, 이 지점에는 근이 존재하지 않는다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
f(x)=x²-2이고 x₀=1.5일 때, 뉴턴법에 의해 x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667입니다. y=x²의 [0,2] 구간에서 두 개의 동일한 직사각형 테두리를 사용할 때, h=1이며 사다리꼴 면적=(1/2)(0+2×1+4)=3; 정확한 면적은 8/3입니다.
근 찾기 및 수치 적분
두 끝점에서 서로 다른 부호를 가지는 연속함수는 그 사이에 근을 가집니다.
모델과 풀이 사례를 비교하여 하나의 변화를 설명하시오.
x²-2에 대한 뉴턴 방법 한 번의 계산 후 x₀=1.5에서 x₁을 구하십시오.
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x₁=1.5-(1.5²-2)/(2×1.5)=17/12≈1.416667.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 불연속점에서의 부호 변화는 근이 있음을 증명하지 않습니다. 반복법은 발산하거나 순환할 수 있습니다. 사다리꼴 법칙의 과소평가 또는 과대평가는 함수가 증가하는지 여부가 아니라 곡률에 따라 결정됩니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
모든 부호 변경은 근을 증명하며, 이는 불연속점을跨过하는 경우에도 포함됩니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하십시오.
적분 x²의 사다리꼴 근사값을 구하기 위해 두 개의 줄을 사용하십시오. 이 적분의 범위는 0부터 2까지입니다.
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h=1이고 높이가 0,1,4일 때, (1/2)(0+2×1+4)=3가 됩니다.
모든 부호 변경은 근의 존재를 증명하지만, 불연속 구간을跨过하는 경우에도 해당합니다.
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불연속 구간을跨过하는 부호 변경은 근의 존재를 증명하지 않습니다. 반복법은 발산하거나 순환할 수 있습니다. 사다리꼴 법칙의 과소평가 또는 과대평가 여부는 곡률에 의존하며, 단순히 함수가 증가하는지 여부에 의존하지 않습니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 정지 조건을 제시하고 합리적인 정확도를 보고하십시오. 말한 반올림된 답周围的 부호 경계를 통해 근을 확인하고, 선택한 반복법의 실패를 설명하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
적분 x²의 정적분 값을 구하십시오. 이 적분의 범위는 0부터 2까지입니다.
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정적분은 [x³/3]을 0과 2의 값으로 대입하여 8/3이 됩니다.
각 수치 해석 방법을 그 업데이트 공식이나 규칙에 매칭하시오.
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각 방법에는 고유한 적용 조건이 있다: 이분법은_theme连续的부호 변경이 필요하고, 뉴턴법은 제로가 아닌 미분값이 필요하며, 사다리꼴 법칙은 등폭 간격이 필요하다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · I. 확장 assignments를 할당하기 전에 목표 계층과 규격을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
새로운 근사값이 이전 값으로부터 계산되는 반복적인 업데이트입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 검토하고 결과를 해석하십시오.