Elementary antiderivatives, coefficients and domains
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 원함수 |
미분은 지수함수 또는 삼각함수의 인자를 계수로 곱합니다. 적분은 어떻게 그 인수를 undone해야 합니까?
- 미분은 지수함수 또는 삼각함수의 인자를 계수로 곱합니다. 적분은 어떻게 그 인수를 undone해야 합니까?
- 이 수업에서는 **원적분(antiderivative)**을 다룹니다: 명시된 구간에서 특정 피적분함수의 도함수가 되는 함수입니다.
수학적 구조 선택하기
- 허용 가능한 미분 가능 영역에서의 실수 지수에 대해, n≠−1일 때 x^n를 x^(n+1)/(n+1)+C로 적분하십시오. 0을 제외한 구간에서 1/x를 ln|x|+C로 적분하십시오. k≠0인 경우, e^(kx), sin(kx), cos(kx)의 적분은 각각 e^(kx)/k, −cos(kx)/k, sin(kx)/k이며 상수를 더합니다. 선형성을 사용하여 합과 상수 배율에 적용하고, 미분으로 검증하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why is the integral of 1/x not x⁰/0 or any power rule case?
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The power rule divides by n+1, which fails exactly at n=-1. That gap is filled by the logarithm: (ln|x|)′=1/x on either side of zero, with |x| covering negative inputs.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
f(x)=6x²−4e^(2x)+3cos(3x)−2sin(2x)+5/x with x>0일 때, F=2x³−2e^(2x)+sin(3x)+cos(2x)+5ln x+C입니다. 각 도함수는 대응되는 항을 복원합니다. x<0에서, 5/x를 5ln(−x) 또는 5ln|x|로 적분하며, 상수는 불연결된 구간에 따라 다를 수 있습니다. 3cos(3x)의 적분은 0부터 π/6까지 sin(π/2)−sin 0=1입니다. F′=6x²이고 F(1)=7이면, F=2x³+5입니다. 만약 k=0라면, e^(kx)=1과 cos(kx)=1은 x+C로 적분되며, sin(kx)=0은 C로 적분됩니다; k=0으로 나누어서는 안 됩니다.
Elementary antiderivatives, coefficients and domains
For real powers on an allowed differentiable domain, integrate x^n as x^(n+1)/(n+1)+C when n≠−1
Check the hypothesis, endpoints and coefficients behind each integral calculation.
For F′=6x² and F(1)=7, find the integration constant.
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7=2×1³+C gives C=5.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- n=−1 지수는 제곱 공식에서의 0으로 나누기가 아닌 별도의 로그 함수 사례입니다. 원적분 sine의 부호를 유지하고 인자의 계수로 나누십시오. ln x만으로 음의 x를涵蓋할 수 없습니다. 부정적분에는 상수가 필요하며, 유효한 한계가 제공되면 정적분은 수치적 값을 가집니다. 실수 분수 지수는 영역을 제한할 수 있습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
cos(kx)의 적분은 항상 k sin(kx)를 얻으며, 이는 k=0인 경우에도 포함됩니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하십시오.
Find the worked definite integral of 3cos(3x).
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The antiderivative sin(3x) gives sin(π/2)−sin 0=1.
Integrating cos(kx) always gives k sin(kx), including k=0.
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The n=−1 power is a separate logarithmic case, not division by zero in the power formula. Keep the sign in the sine antiderivative and divide by the argument coefficient. ln x alone does not cover negative x. An indefinite integral needs a constant; a definite integral has a numerical value when valid limits are supplied. A real fractional power may restrict the domain.
새로운 상황을 해석하십시오
- 계수와 부호를 확인하기 위해 항별로 미분하고, 로그함수나 분수 지수를 사용하기 전에 구간을 명시하십시오. H2로 분류된 기본 형태는 거듭제곱, e^(kx), 1/x, sin(kx) 및 cos(kx)입니다. 다른 형태들은 별도의 정당화가 필요하며, 추가 필수 H2 형태로 주장되지 않습니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Evaluate the derivative of 5ln|x| at x=−2.
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The derivative is 5/x on either allowed interval, giving −5/2.
Match each integrand to its antiderivative.
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Verify every antiderivative by differentiating back; sine carries the minus sign, and k=0 degenerates to constants needing separate treatment.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · H. 확장 과제를 할당하기 전에 타겟 등급과 규격을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
지정된 구간에 대해 주어진 피적분함수의 도함수가 되는 함수입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 그 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.