사각형 합계의 극한으로서의 적분
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 리만 합 |
유한개의 직사각형은 곡선 영역의 일부를 누락합니다. 스트립 너비가 0에 수렴할 때 무엇이 변합니까?
- 유한개의 직사각형은 곡선 영역의 일부를 누락합니다. 스트립 너비가 0에 수렴할 때 무엇이 변합니까?
- 이 수업에서는 **리만 합(Riemann sum)**을 다룹니다: 분할이 세밀해짐에 따라 적분에 수렴하는 부호 있는 직사각형 기여항들의 합입니다.
수학적 구조 선택하기
- [a,b]에서 n개 등간격 스트립일 때, 너비 h=(b−a)/n입니다. 우측 끝 합은 k=1,…,n에 대해 f(a+kh)의 합에 h를 곱한 값이며, 좌측 끝 합은 k=0,…,n−1을 사용합니다. 연속함수 f에 대해 n이 무한대로 갈 때 두 한계 모두 적분값과 같습니다. 유한합은 근사치이며, 한계는 정확한 부호 있는 누적량입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
x²이 [0,1] 구간에서 L₂=1/8이고 R₂=5/8일 때, 왜 이 값들이 정확한 적분의 범위를限定하는가?
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증가 함수에서 각 직사각형의 왼쪽 높이는 줄의 최소값, 오른쪽 높이는 최대값이 되어 실제 면적을 감쌉니다. 차이 R_n-L_n=1/n→0은 두 극한을 모두 1/3로 강요합니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
f(x)=x² on [0,1], h=1/n입니다. 우측 합 R_n=(1/n³) sum from k=1 to n of k²=(n+1)(2n+1)/(6n²)=1/3+1/(2n)+1/(6n²)입니다. 좌측 합 L_n=(n−1)n(2n−1)/(6n³)=1/3−1/(2n)+1/(6n²)입니다. n=2일 때, L_2=1/8이고 R_2=5/8; 이 구간에서 x²이 증가하므로 둘 다 정확한 적분 1/3을 상하로限定합니다. 그들의 차이는 1/n이며, 이는 0으로 수렴합니다. 같은 정의는 부호 있는 기여항을 주는데, f=−2 on [0,1]인 경우 모든此类 합은 −2이지만, 양의 기하학적 면적은 2입니다.
사각형 합계의 극한으로서의 적분
[a,b]区间에서 n개 등간 띠에 대해 폭 h=(b−a)/n입니다
각 적분 계산 뒤에 숨겨진 가설, 경계점 및 계수를 확인하십시오.
x²에 대해 L_2를 구하시오 (구간 [0,1]).
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높이 0와 1/4, 폭이 각각 1/2인 사각형들의 합계는 1/8입니다
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 스트립 너비에 곱하세요: 높이만을 더하면 단위가 잘못되고 한계가 달라집니다. 좌측 합은 k=0을 포함하고 k=n을 제외하며, 우측 합은 그 반대의 경우입니다. 증가함수는 좌/우 경계를 제공하지만, 실제 구간에 대한 규칙 확인이 필요합니다. 직사각형 합과 사다리꼴 법칙은 서로 다른 유한 근사법입니다. 음의 높이는 음의 부호 면적에 기여합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
유한한 우측 끝 직사각형 합은 모든 연속 곡선의 정확한 적분입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.
R_2를 구하십시오
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오른쪽 높이 1/4과 1를 사용하면 (1/2)(5/4)=5/8가 됩니다
유한한 오른쪽 끝점 사각형 합계는 모든 연속 곡선에 대해 이미 정확한 적분값입니다
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띠 폭에 곱해야 합니다: 높이를 더하는 것만으로는 단위가 잘못되고 limit도 틀립니다. 왼쪽 합계는 k=0을 포함하고 k=n을 제외하며, 오른쪽 합계는 그 반대입니다. 증가함수는 왼쪽/오른쪽 경계를 제공하지만, 실제 구간에서 이 규칙이 적용되는지 확인해야 합니다. 사각형 합계와 사다리꼴 법칙은 서로 다른 유한 근사법입니다. 음수 높이는 부호 있는 음의 면적에 기여합니다
새로운 상황을 해석하십시오
- 단순화하기 전에 분할, 평가 지점 및 시그마 한계를 먼저 쓰십시오. 유한합 항등식을 사용하고, 이후 한계를 계산하십시오. 유한 경계와 원적분 결과를 비교하여 독립적으로 검증하십시오. 이것은 H4 정확한 한계 추론이며, numerical trapezia는 I3에 속하며 한계 논리의 대안이 될 수 없습니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
L_n과 R_n의 공통极限을 구하십시오
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항들 1/(2n)과 1/(6n²)은 0으로 수렴하여 최종적으로 1/3만 남습니다
리만 합의 특징을 각각의 규칙과 매칭하십시오.
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너비 인자를 제외한 높이는 잘못된 단위를 가지며, 잘못된 극한을 가집니다. 부호를 가진 높이는 부호를 가진 기여도를 줍니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · H. 확장 과제를 할당하기 전에 타겟 등급과 규격을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
분할이 세밀해짐에 따라 적분에 수렴하는 부호 있는 직사각형 기여항들의 합입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정 조건을 확인하고 결과를 해석하십시오.