기본 정理와 적분 변화량
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | 적분함수 |
A flow meter reports a changing rate. How does the accumulated volume recover that same rate when differentiated?
- A flow meter reports a changing rate. How does the accumulated volume recover that same rate when differentiated?
- This lesson studies accumulation function 累积函数: A function whose value is the signed integral from a fixed starting point to a variable endpoint.
Choose the mathematical structure
- For continuous f on an interval, A(x)=integral from a to x of f(t) dt has A′(x)=f(x). If F′=f, the definite integral from a to b is F(b)−F(a). These two directions connect accumulation and differentiation. Dummy variable t is integrated; x is the moving endpoint. For A(g(x)), apply the chain rule: its derivative is f(g(x))g′(x).
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
A(x)=∫₁ˣ(3t²-2)dt일 때, 왜 A(2)=5과 A′(2)=10은 다른 수인가?
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기본 정리는 두 가지 방향을 가짐: 적분 함수의 미분은 피적분함수로 돌아가며 A′(x)=f(x)이고, 정적분 F(b)-F(a)는 총 변화를 측정함. 여기서 x³-2x+1이 2일 때는 5이지만, f(2)=10임.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
Let A(x)=integral from 1 to x of (3t²−2) dt. An antiderivative is t³−2t, so A(x)=x³−2x+1, A(1)=0, A(2)=5 and A′(2)=10. Thus accumulated change 5 differs from endpoint rate 10. For B(x)=integral from 1 to x² of (3t²−2) dt, B′(x)=(3x⁴−2)2x; at x=1 this is 2. Independently, if F′=3x²−2 and F(1)=4, then F=x³−2x+5. Its change F(2)−F(1)=5 agrees with A(2), although its initial value is not zero.
기본 정理와 적분 변화량
구간에서 연속인 f에 대해, A(x)=∫_a^x f(t) dt라면 A′(x)=f(x)입니다.
각 적분 계산 뒤에 숨겨진 가설, 경계점 및 계수를 확인하십시오.
해설된 적분 함수 A(2)의 값을 구하십시오.
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A(2)=8−4+1=5.
Test a tempting shortcut
- Subtract the lower antiderivative value even when the lower limit is not zero. A definite integral is signed change, not automatically total positive area. A′(x) is the integrand at the endpoint, not its antiderivative. Continuity on the relevant interval is a sufficient hypothesis; do not integrate across a pole such as 1/t at zero. A moving endpoint x² also contributes its chain-rule factor.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
The derivative of an accumulation function is always its accumulated total. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
A′(2)를 구하십시오.
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A′(2)=3×4−2=10.
적분 함수의 도함수는 항상 그 적분 총합입니다.
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하한이 0이 아니더라도 하한 원함수 값을 빼야 합니다. 정적분은 자동으로 모든 양의 면적이 아니라 부호 있는 변화량입니다. A′(x)는 피적분함수의 끝점 값이지 원함수가 아닙니다. 관련 구간에서의 연속성이 충분한 가정이므로, 0에서의 극점(예: 1/t)을跨过하여 적분해서는 안 됩니다. 이동 경계점 x²도 연쇄법칙 인자를 추가합니다.
Interpret a new situation
- Use rate units multiplied by input units for accumulated change. Check A(a)=0 and differentiate the final expression to recover f. Initial values determine constants in a state function; definite changes do not depend on an arbitrary antiderivative constant. This lesson gives the theorem and elementary variable-bound examples; improper integrals are outside this treatment.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
해설된 이동 경계점에 대한 B′(1)를 구하십시오.
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B′(1)=(3−2)×2=2.
각 정리의 구성 요소를 서술에 매칭하기.
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더미 변수 t는 적분되어 소거되고, 상한 x가 답에 의존하며, 비선형 상한은 자체 체인 규칙 인자를 가져옴.
Use this in your course
- 7357 · A-level · H. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
A function whose value is the signed integral from a fixed starting point to a variable endpoint. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.