Substitution, parts and partial fractions
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | 부분적분법 |
두 인자를 별도로 적분할 수 있는가?
- xe^x와 같은 단순한 형태의 곱은 각 인자를 별도로 적분하여 풀 수 없습니다.
- 이 수업에서는 **부분적분(integration by parts)**을 연구합니다: 곱의 미분에 기반한 적분 방법입니다.
수학적 구조 선택하기
- 내미분이 인자로 나타날 때 치환법을 사용하십시오. 부분적분법: ∫u v' = uv - ∫u' v. 유리함수의 경우, 필요하면 먼저 나눈 후 부분분수로 분해하십시오.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
Why does the substitution w=x²+1 fit the integral of 2x/(x²+1)?
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With w=x²+1, dw=2x dx, and the integral becomes ∫dw/w=ln|w|+C. Substitution is powerful precisely when the inner derivative appears as a factor.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
∫xe^x dx의 경우, u=x이고 v'=e^x로 둡니다. 그러면 적분은 xe^x-e^x+C입니다. ∫2x/(x²+1) dx의 경우, w=x²+1로 치환하고 dw=2x dx이면, 답은 ln(x²+1)+C입니다.
Substitution, parts and partial fractions
integral from 0 to 3 of x² dx = 9
Compare signed area accumulation with the antiderivative x³/3; the substitution and parts examples are separate methods.
Evaluate the integral of xe^x from 0 to 1.
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An antiderivative is (x-1)e^x. At 1 and 0 it gives 0 and -1, so the integral is 1.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- u와 v'를 잘 선택하는 것이 중요합니다: 나머지 적분식이 더 단순해져야 합니다. 정적분 대입에서는 적분 한계를 바꾸거나, 원래의 한계를 적용하기 전에 다시 x로 되돌려야 합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
곱의 적분은 각 적분의 곱과 같습니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위배하는 정의 또는 가정을 설명하십시오.
Find the coefficient of ln(x²+1) in the integral of 2x/(x²+1).
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Substitution w=x²+1 gives dw=2x dx, so the coefficient of ln(x²+1) is 1.
The integral of a product equals the product of its separate integrals.
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Choosing u and v prime well matters: the remaining integral should become simpler. In a definite substitution, either change the limits or return to x before applying the original limits.
새로운 상황을 해석하십시오
- AQA H5은 치환법과 부분적분을 도입하며, H6은 일차 분모를 가진 부분분수 적분을 다룹니다. 단일worked部分是 introductory support이며 완전한 반복적분 또는 부분분수 커버리지 نیست.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
Evaluate the integral of x² from 0 to 3.
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V/π=integral x² dx from 0 to 3=[x³/3]=9.
Match each integral to the method that fits it.
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Choose the method by structure: an inner derivative suggests substitution, a product of unlike types suggests parts, and an improper rational function needs division first.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · H. 확장 과제를 할당하기 전에 타겟 등급과 규격을 일치시키십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
곱의 미분법에 기반한 적분 방법입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.