속도 법칙에서 미분 방정식 구성하기
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 미분방정식 |
인구는 현재 크기에 비례하여 증가하지만 매일 고정된 수의 개체가 떠납니다. 어떤 부분이 속도 방정식에 포함되어야 합니까?
- 인구는 현재 크기에 비례하여 증가하지만 매일 고정된 수의 개체가 떠납니다. 어떤 부분이 속도 방정식에 포함되어야 합니까?
- 이 수업에서는 **미분 방정식(differential equation)**을 다룹니다: 미지수 함수와 그 도함수 중 하나 이상의 관계입니다.
수학적 구조 선택하기
- 독립 변수와 종속 변수를 선택하고 명시된 속도 법칙을 미분식으로 변환하십시오. y에 비례하면 ky; y²에 비례하면 ky²입니다. 고정된 유입량 minus 비례적 손실은 dy/dt=a−ky; 목표 A와의 간격에 비례하는 속도는 dy/dt=k(A−y)를 줍니다. 초기 조건은 함수 값을 결정할 뿐 미분식 공식이 아닙니다. 상수는 양변이 같은 종류의 속도가 되도록 단위를 가져야 합니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
"비율이 현재 양에 비례한다"는 왜 dy/dt=ky가 아닌 dy/dt=k로 쓰입니까?
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비례율은 지수적 거동을 나타내며, 일정한 절대 변화량을 주지 않습니다. dy/dt=k는 y와 무관하게 단위 시간마다 고정된 양을 더하므로, 이는 다른 명제에 대한 선형 모델입니다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
표본 인구 P, 시간 t(일 단위)에서 출생은 하루 0.04P개, 이탈은 하루 10명입니다. 모델은 dP/dt=0.04P−10, P(0)=500입니다. 초기 속도는 하루 10명; P=250은 평형치이며 아래쪽에서는 같은 방정식이 감소를 예측합니다. 인구가 음수로 예측될 경우 모델은 멈춰야 하거나 보완되어야 합니다. m/s 단위의 속도 v와 초 단위 시간 t에서 가속도 ⟨6⟩−0.2v는 dv/dt=6−0.2v, v(0)=0을 줍니다: 초기 가속도는 m/s² 6이며 평형 속도 m/s는 ⟨30⟩입니다. 가상의 수요 모델에서 수량 Q는 가격-속도에 비례하여 감소합니다. 가격 p=12, Q=200, dQ/dp=−10이므로 dQ/dp=−0.05Q, Q(12)=200입니다: 독립 변수는 시간이 아닌 가격입니다. 순수 수학에서 기울기 ⟨2⟩xy, y(1)=3은 dy/dx=2xy와 초기 기울기 ⟨6⟩을 줍니다.
속도 법칙에서 미분 방정식 구성하기
독립 변수와 종속 변수를 선택하고 명시된 속도 법칙을 도함수로 변환하십시오.
도함수 계산 결과를 해당 원점, 정의역 및 명시된 변화율 식에 연결하십시오.
초기 인구 증가율을 단위/일 단위로 구하십시오.
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0.04×500−10=10.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 비례 속도는 일정한 절대 변화량이 아닙니다. 고정된 탈출자는 P의 두 번째 곱인자가 아닌 감산 항이 필요합니다. 식 전체를 통해 변하는 P를 초기 값으로 대체하지 마십시오. 평형점은 속도 영점 조건을 풉니다; 초기 값과 같을 필요 없으며, 모든 시작점에서 접근될 필요도 없습니다. 가격 도함수와 시간 도함수는 단위와 양이 다른 서로 다른 양입니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
속도가 현재 양에 비례한다는 것은 모든 시간에서 동일한 절대 변화를 의미한다는 명제는 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반하는지 설명하십시오.
초기 가속도를 m/s² 단위로 구하십시오.
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6−0.2×0=6.
증가율이 현재 양에 비례한다는 것은 모든 시간 동안 동일한 절대 변화량을 의미하는 것이 아닙니다.
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비례 속도는 일정한 절대 변화량이 아닙니다. 고정된 이탈량은 P의 두 번째 곱셈인자가 아닌 감수 항이 필요합니다. 전체 식에서 변하는 P를 초기값으로 대체하지 마십시오. 평형 상태는 속도-영등조 건을 만족하는 해이며, 초기값과 같거나 모든 시작점에서 접근될 필요는 없습니다. 가격에 대한 미분과 시간에 대한 미분은 서로 다른 물리량이며 단위가 다릅니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- 각 변수를 정의하고, 유입/유출 또는 비례 항을 부호로 변환하며, 상수 가정을 명시하고 초기 조건을 별도로 서술하십시오. 초기 속도를 검증으로 평가하고 해석하기 전에 평형점을 찾으십시오. 이는 예시적 구성이며 필수적 맥락 목록은 아닙니다: G6 예시는 선택 사항입니다. 도출된 방정식을 푸는 것은 별도의 적분 작업입니다.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
수요 모델의 양의 비례 상수를 구하십시오.
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−10=−k×200에서 k=10/200=0.05입니다.
각 변화율 법칙을 미분 방정식에 매칭하십시오.
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상수는 양변이 동일한 종류의 변화율이 되도록 단위를 가집니다. 초기 조건은 도함수 공식이 아닌 특정 값을 결정합니다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
미지 함수와 그 미분함수 중 하나 이상을 포함하는 관계입니다. 관계를 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.