연속변화율, 기하학 및 시간 단위

어휘

English	의미
connected rates/kəˈnektɪd reɪts/	관련 변화율

구형 물체가 일정 속도로 부피를 증가시킵니다. 이 때 반지름도 일정 속도로 증가합니까?

구형 물체가 일정 속도로 부피를 증가시킵니다. 이 때 반지름도 일정 속도로 증가합니까?
이 수업에서는 연관 변화율을 연구합니다: 같은 시간 변수에 따라 변하는 양들 사이의 관계에 의해 연결된 변화율입니다.

수학적 구조 선택하기

y=f(x)이고 x가 시간 t에 따라 변할 때, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)입니다. 변하는 양들 간의 관계를 유도하고, 시간에 대해 미분한 후 해당 순간의 측정 값을 대입하십시오. 시간 변수와 각 변화율의 부호 및 단위를 유지하십시오. 구에 대해 V=(4/3)πr³이고 A=4πr²이므로, dV/dt=4πr² dr/dt이고 dA/dt=8πr dr/dt입니다.
계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.

연습

왜 V=(4/3)πr³에 r을 대입한 후 시간 t에 대해 미분해야 하는가?

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

대입하면 r이 상수로 고정되어 변하는 속도를 연결하는 관계식 dV/dt=4πr² dr/dt가 파괴됩니다.
대입은 항상 안전합니다.
π는 상수이기 때문에

검증된 사례를 풀이해 보기

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt},\qquad\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$

시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.

Example

구체의 반지름이 3 cm이고 부피가 18π cm³/s로 증가할 때, 순간적인 반지름 변화율은 18π/(4π×9)=1/2 cm/s이며, 표면적 변화율은 8π×3×(1/2)=12π cm²/s이다. 이는 국소 변화율이며, r이 커질수록 동일한 부피 변화율은 더 작은 반지름 변화율을 준다. 전체 높이가 전체 반지름의 두 배인 원추형 용기에서는 수위마다 비례에 의해 r=h/2이 성립한다. 따라서 V=πh³/12이고 dV/dt=(πh²/4)dh/dt이다. h=4 cm이고 유입량이 8π cm³/s일 때, dh/dt=2 cm/s이다. 고정된 5 m 사다리에서 x²+y²=25이며, (x,y)=(3,4) m이고 dx/dt=0.2 m/s일 때, dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 m/s이다: 상단이 내려간다.

탐색하기

y=f(x)이고 x가 시간 t에 따라 변할 때, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)입니다.

적절한 변수 치환 variable을 식별하고, 미분식의 분모 또는 국소 분지를 검증하십시오.

연습

구면의 반지름 변화율을 cm/s 단위로 구하세요.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

유혹적인 단축법을 시험해 보십시오

미분하기 전에 현재 반지름이나 높이를 대입하지 마십시오: 그러면 관계식이 상수로 잘못 변형됩니다. dV/dt는 dV/dr이 아닙니다. 변하는 원뿔의 반지름은 유사성 관계를 따르며 현재 값에 고정되어서는 안 됩니다. 분당 유입량을 초당 변화율로 변환하여 초 기반 데이터와 결합하십시오. 음의 변화율은 감소를 의미하며, 음의 길이를 의미하지 않습니다.
단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.

Watch out

미분하기 전에 측정된 반지름을 부피 공식에 대입하십시오. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의나 가정을 위반했는지 설명하십시오.

연습

원뿔의 높이 변화율을 cm/s 단위로 구하세요.

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연습

시간에 대해 미분하기 전에 측정된 반지름을 부피 공식에 대입하십시오.

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새로운 상황을 해석하십시오

기하학을 그리고, 상수를 확인하며 유효한 시간/측정 단위를 명시하십시오. 유사성이나 제약을 사용하여 추가 변수를 제거한 후 미분하십시오. 같은 순간의 값을 사용하고 결과의 방향을 서술하십시오. 고정된 사다리 길이나 진정한 구면과 같은 물리적 가정은 모델을 제한하며, 그 순간 이후에는 변화율이 일정하지 않을 수 있습니다.
완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.

연습

사다리 꼭대기의 이동 속도를 m/s 단위로 구하세요.

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연습

각 연결된 변화율 단계의 목적을 매칭하십시오.

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매치 하나를 선택한 후 목적지를 지정하세요. 매치를 두 개 선택하여 교체할 수 있습니다. Esc 키를 누르면 선택이 취소됩니다. 매치를 드래그하여 이동할 수도 있습니다.

예를 들어 V=(4/3)πr³입니다.

dV/dt=4πr² dr/dt입니다.

미분한 후에만 가능함

양을 서로 연관시키십시오.
t에 대해 미분하십시오.
즉시 값을 대입하십시오.

과정에 활용하십시오

7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.

Key idea

시간 변수가 동일한 양 사이의 변화율 간 연결. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정을 확인하고 결과를 해석하십시오.