Chain rules for nested functions and restricted inputs
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| composite derivative/ˈkɒmpəzɪt dɪˈrɪvətɪv/ | 합성함수의 미분계수 |
센서는 여러 수식을 통해 변화하는 입력을 변환합니다. 어떻게 이 변화율의 모든 연결 고리를 유지할 수 있습니까?
- 센서는 여러 수식을 통해 변화하는 입력을 변환합니다. 어떻게 이 변화율의 모든 연결 고리를 유지할 수 있습니까?
- 이 수업에서는 합성 미분을 다룹니다: 외함수의 미분을 내부 출력에 대입한 결과에 해당 내부 입력의 미분을 곱한 것입니다.
수학적 구조 선택하기
- y=f(u)이고 u=g(x)인 경우, dy/dx=f′(g(x))g′(x)입니다. 실제 내부 식에서 외함수의 미분을 계산하십시오. 여러 중첩된 함수의 경우, 모든 내부 속도 요인을 곱하십시오. 정의역 제한은 각 단계마다 발생하므로, 미분된 식은 금지된 원래 입력을 복원할 수 없습니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
For z=e^(x²), why is z′(0)=0 even though the exponential derivative is never zero?
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z′=e^(x²)·2x. The outer factor e^(x²) is always positive, but the inner rate 2x vanishes at 0, so the product is zero - a flat point on the curve, not a rule failure.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
y=(3x−1)^4인 경우, u=3x−1로 đặt자: y′=4u³×3=12(3x−1)³, 따라서 y′(0)=−12이다. z=e^(x²)인 경우, z′=e^(x²)×2x; z′(0)=0인데, 외쪽 지수함수의 미분값은 절대 0이 아니다. w=ln(2x+1), x>−1/2인 경우, w′=2/(2x+1); w′(1)=2/3이다. r=sin((2x+1)²)인 경우, 먼저 u=(2x+1)²로 đặt자: r′=cos((2x+1)²)×2(2x+1)×2=4(2x+1)cos((2x+1)²)이다. s=√(5−x²)인 경우, 원래 정의역은 −√5≤x≤√5이나, s′=−x/√(5−x²)는 개구간에서만 유한하다.
Chain rules for nested functions and restricted inputs
For y=f(u) and u=g(x), dy/dx=f′(g(x))g′(x)
Choose the derivative rule and preserve every coefficient, inner rate and input restriction.
For (3x−1)^4, find the derivative at x=0.
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4(−1)³×3=−12.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- 바깥쪽 지수나 지수함수를 미분한 후 멈추지 마십시오. sin(u²)의 경우, 코사인 함수의 입력은 여전히 u²입니다. 이는 2u로 교체되지 않습니다. 중첩된 미분에서 한 개의 연결 고리가 누락되면 인자 하나가 사라집니다. 내부 미분값이 0이면 전체 미분값도 0이 될 수 있으므로, 확인 없이 나누면 유효한 경우가 유실될 수 있습니다. 제곱근 함수는 끝점에서 존재할 수 있으나 그 점에서 유한한 미분값을 가지지 않을 수도 있습니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
e^(x²)의 미분은 내부 변화율 인자가 없는 e^(x²)입니다. 이 주장은 틀렸습니다. 어떤 정의 또는 가정과 위배되는지 설명하십시오.
For e^(x²), find the derivative at x=0.
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The inner rate is 2x, which is zero at zero.
The derivative of e^(x²) is e^(x²) without an inner-rate factor.
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Do not stop after differentiating the outer power or exponential. For sin(u²), the cosine input stays u²; it is not replaced by 2u. Missing one link in a nested derivative loses a factor. A zero inner derivative can give zero total derivative, so dividing by it without checking can lose valid cases. A square root can exist at an endpoint without a finite derivative there.
새로운 상황을 해석하십시오
- 바깥쪽에서 안쪽으로 작업하며 각 입력 변화를 기록하십시오. 인자들을 곱한 후 단순화하십시오. 짧은 다항식의 경우 전개는 독립적인 대안 검증 방법을 제공합니다. 모든 로그/제곱근의 제한 조건을 유지하고, 0인 변화율이 바깥쪽 함수, 내부 입력, 아니면 둘 다에서 기인하는지 해석하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
For ln(2x+1), find the derivative at x=1.
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The inner rate is 2; 2/(2×1+1)=2/3.
Match each composite to its derivative.
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Differentiate the outer function AT the inner expression, then multiply by the inner derivative; a nested chain multiplies every link.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
내부 출력에서 평가된 바깥쪽 미분값에 해당 내부 입력의 미분값을 곱합니다. 관계 선택, 방법 제시, 가정 검토, 결과 해석을 하십시오.