제곱근 및 상수 법칙과 함께 제외 지점을 유지하십시오.
도입됨| English | 의미 |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 상수법칙 |
변화하는 면적의 두 인자 모두 변할 수 있습니다. 왜 개별 미분의 곱은 대부분의 변화율을 놓치게 됩니까?
- 변화하는 면적의 두 인자 모두 변할 수 있습니다. 왜 개별 미분의 곱은 대부분의 변화율을 놓치게 됩니까?
- 이 수업에서는 나머지 법칙(quotient rule) 을 다룹니다: 분모가 영이 아닐 때 두 변하는 함수의 비를 미분하기 위한 규칙입니다.
수학적 구조 선택하기
- 미분 가능한 u, v에 대해 (uv)′=u′v+uv′입니다. v≠0일 때, (u/v)′=(u′v−uv′)/v²입니다. 곱의 법칙은 두 기여 요소를 포함합니다: 한 인자의 변화와 다른 인자가 제공하는 현재 값입니다. 지수법칙은 분자의 미분에 분모를 곱한 것에서 분자에 분모의 미분을 곱한 것을 뺀 값을 v²로 나눈 것입니다.
- 계산 전에 허용된 입력값과 단위를 명시하라. 방정식은 단순히 계산기 입력 내용을 기록하는 것보다 관계성을 표현해야 한다.
w=(x²-1)/(x-1)일 때, 단순화된 미분식 w′=1이 x=1에서 유효하지 않은 이유는 무엇인가?
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인수 (x-1)가 소거되어 x+1이 되는 것은 x≠1일 때에만 성립한다. 단순화된 식의 미분식 역시 해당 제한을 공유하므로, 그래프의 구멍은 대수적 소거로 해결되지 않는다.
검증된 사례를 풀이해 보기
- 시작값과 결과를 대조하십시오. 원본 관계에 대입하거나, 적절한 경우 그래프와 수치적 답을 비교하십시오.
y=x²e^x인 경우, y′=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x)이므로, y′(1)=3e입니다. z=(x²+1)/(x−1), x≠1인 경우, z′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²; x=2일 때 값은 −1입니다. 다항식 나눗셈에 의해 z=x+1+2/(x−1)으로 나타낼 수 있으므로, 이는 z′=1−2/(x−1)²이라는 독립적인 검증이 됩니다. w=(x²−1)/(x−1), x≠1인 경우, 약분 후 w=x+1이 되어 w′=1이 되지만, 이는 오직 원래의 정의역에서만 성립합니다. x=1에 해당하는 결손 점은 복원되지 않으며, 연속 확장된 함수는 다른 함수가 됩니다.
제곱근 및 상수 법칙과 함께 제외 지점을 유지하십시오.
미분 가능한 u, v에 대해, (uv)′=u′v+uv′입니다.
미분 규칙을 선택하고 모든 계수, 내부 변화율 및 입력 제한 조건을 유지하십시오.
x²e^x에 대해, x=0에서의 미분값을 구하십시오.
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e⁰(0²+2×0)=0.
유혹적인 단축법을 시험해 보십시오
- u′v′을 곱하는 것은 uv의 미분이 아닙니다. 지수법칙의 분자를 뒤집으면 부호가 바뀝니다. 제곱된 분모는 원래의 극점이나 구멍을 제거하지 않습니다. 미분하기 전에 단순화하는 것이 도움이 될 수 있으나, 이때는 제외 조건을 반드시 유지해야 합니다. 정지 지수법칙 점은 원래의 정의역 내에也必须 있어야 합니다.
- 단축법이 실패하면 그 단축법이 위배하는 가정을 식별하십시오. 요청된 최종 반올림까지 정확한 값을 유지하십시오.
지수법칙에서 인자를 약분하면 자동으로 모든 제외 입력이 복원됩니다. 이 주장은 틀렸습니다. 이 주장이 위반하는 정의나 가정을 설명하십시오.
주어진 예제 문제 z에 대해, z′(2)를 구하십시오.
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(4−4−1)/(2−1)²=−1.
비분식에서 인자를 약분하면 자동으로 모든 제외된 입력 지점이 복원됩니다.
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u′v′를 곱하는 것은 uv의 미분이 아닙니다. 비분식의 분자를 뒤집으면 부호가 반대로 바뀝니다. 제곱된 분모는 원래의 극점이나 빈홀(hole)을 제거하지 않습니다. 미분 전에 식을 간소화할 수 있지만, 이는 제외 지점을 반드시 보존해야 합니다. 정지점(stationary point)인 비분식 값은 원래의 정의역에 포함되어야 합니다.
새로운 상황을 해석하십시오
- u, v를 명시하고 치환 전에 u′, v′를 적으십시오. 전개가 완료될 때까지 지수법칙 분자 양쪽 항에括호를 유지하십시오. 두 기여 요소를 모두 모은 후에야 곱의 미분是因数를 인수분해하십시오. 사용 가능한 expansions 또는 division form을 비교하고, y′=0을 풀거나 값 계산 전에 원래의 정의역에 치환하십시오.
- 완전한 해답은 수학적 결과를 제시하고 그 의미를 설명해야 합니다. 주어진 맥락 내에서 가능한지 확인하십시오.
w=(x²−1)/(x−1)일 때, w′(2)를 구하십시오.
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약분 후 식은 x≠1인 경우에만 x+1으로 줄어듭니다. 허용된 입력 2에서의 미분값은 1입니다.
각 규칙에 해당하는 수식을 매칭하시오.
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비율의 미분 법칙 분자에서는 u′v-uv′ 순서로 뺄셈하며, 이를 뒤집으면 부호가 반대가 되고 제곱된 분모는 원래의 제한 조건을 제거할 수 없다.
과정에 활용하십시오
- 7357 · A-level · G. 연수 확장 문제를 배정하기 전에 목표Tier와 교육 과정(specification)에 맞춰 택하십시오.
- 최종 답보다 방법을 먼저 제시하고, 시험지의 계산기 및 공식 규칙을 준수하십시오. 틀린 답을 검토할 때는 첫 번째 유효하지 않은 단계 위치를 찾아보십시오.
분모가 영이 아닐 때 두 변하는 함수의 비를 미분하기 위한 규칙입니다. 관계식을 선택하고, 방법을 제시하며, 가정 조건을 확인하고 결과를 해석하십시오.